Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a
Вывод формул производных натурального логарифма и логарифма по основанию a
Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1) ( ln x )′ = .
Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a:
(2) ( loga x)′ = .
Далее мы приводим вывод этих формул.
Доказательство
Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x, которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3) .
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма. Нам понадобятся следующие формулы:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7) .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8) .
Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим свойства (4) и (5).
.
Далее сделаем подстановку . При , . Тогда
.
Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.
И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
.
Тогда ;
.
Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.
Производная натурального логарифма
Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a:
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1) .
Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.
Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.
Другие способы доказательство производной логарифма
Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9) .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.
Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
.
Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:
.
Поскольку , то
.
Тогда
.
Формула доказана.
Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(10) .
Производная от икса равна единице:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (10):
.
Отсюда
.
Пример
Найти производные от ln 2x, ln 3x и ln nx.
Решение
Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x.
Итак, ищем производную от функции
y = ln nx.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .
Итак, мы нашли:
(11) .
Мы видим, что производная не зависит от n. Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
– это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.
Ответ
; ; .
См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >
Производная логарифма модуля x
Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x:
(12) .
Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
.
Ее производная определяется по формуле (1):
.
Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
.
Тогда
.
Объединяем эти два случая в одну формулу:
.
Соответственно, для логарифма по основанию a, имеем:
.
Производные высших порядков натурального логарифма
Рассмотрим функцию
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(13) .
Найдем производную второго порядка:
.
Найдем производную третьего порядка:
.
Найдем производную четвертого порядка:
.
Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14) .
Докажем это методом математической индукции.
Доказательство
Подставим в формулу (14) значение n = 1:
.
Поскольку , то при n = 1, формула (14) справедлива.
Предположим, что формула (14) выполняется при n = k. Докажем, что из этого следует, что формула справедлива при n = k + 1.
Действительно, при n = k имеем:
.
Дифференцируем по переменной x:
.
Итак, мы получили:
.
Эта формула совпадает с формулой (14) при n = k + 1. Таким образом, из предположения, что формула (14) справедлива при n = k следует, что формула (14) справедлива при n = k + 1.
Поэтому формула (14), для производной n-го порядка, справедлива для любых n.
Производные высших порядков логарифма по основанию a
Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a, нужно выразить его через натуральный логарифм:
.
Применяя формулу (14), находим n-ю производную:
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: