Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная котангенса: (ctg x)′

Производная котангенса
Представлен вывод формулы для производной котангенса - ctg(x). Дана формула производной котангенса n-го порядка в виде многочлена по степеням ctg(x). Коэффициенты этого многочлена связаны рекуррентным соотношением.

Производная по переменной x от котангенса x равна минус единице, деленной на синус в квадрате от x:
( ctg x )′ = .

Вывод формулы производной котангенса

Чтобы вывести формулу производной котангенса, мы воспользуемся следующими математическими фактами:
1) Выражением котангенса через косинус и синус:
(1)   ;
2) Значением производной косинуса:
(2)   ;
3) Значением производной синуса:
(3)   ;
4) Формулой производной частного:
(4)   ;
5) Тригонометрической формулой:
(5)   .

Применяем эти формулы и правила к производной котангенса.

.

Тем самым мы получили формулу производной котангенса.

Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x, для которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
В нашем случае
, . Поскольку производные косинуса и синуса определены для всех значений переменной x, то формула производной котангенса справедлива для всех x, кроме точек, в которых синус равен нулю. То есть кроме точек
,
где – целое число.
Сама функция y = ctg x определена для всех x, кроме точек
.
Поэтому производная котангенса определена на всей области определения функции котангенс.

Производные высших порядков

Простой формулы, для производной n-го порядка от котангенса y = ctg x, нет. Но вычисление производных высших порядков можно упростить. Можно свести сам процесс к дифференцированию многочлена.

Для этого выразим производную от котангенса через сам котангенс:
.
Итак, мы нашли:
(6)   .

Найдем производные левой и правой части уравнения (6) и применим правило дифференцирования сложной функции. Получаем производную второго порядка:
.
Подставим (6):
(7)   .

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7), применяем правило дифференцирования сложной функции и используем выражение (6) для первой производной:
.

Подобным способом находим производные четвертого и пятого порядков:

;

.

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции котангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням котангенса:
.
Коэффициенты этого многочлена связаны рекуррентным соотношением:
,
где
;   ;
.

Общая формула

Представим процесс дифференцирования одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная котангенса имеет следующий вид:
,
где .

Опубликовано: