Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная тангенса: (tg x)′

Производная тангенса
Представлен вывод формулы для производной тангенса - tg(x). Примеры вычисления производных от tg 2x, tg 3x и tg nx. Производная тангенса n-го порядка в виде многочлена по степеням tg(x).

Производная по переменной x от тангенса x равна единице, деленной на косинус в квадрате от x:
( tg x )′ = .

Вывод формулы производной тангенса

Для вывода формулы производной тангенса, мы воспользуемся следующими математическими фактами:
1) Выражением тангенса через синус и косинус:
(1)   ;
2) Значением производной синуса:
(2)   ;
3) Значением производной косинуса:
(3)   ;
4) Формулой производной дроби:
(4)   ;
5) Тригонометрической формулой:
(5)   .

Применяем эти формулы и правила к производной тангенса.

.

Формула производной тангенса доказана.

Производные синуса и косинуса определены для всех значений переменной x. Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x, в которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
Таким образом, производная тангенса справедлива для всех x, кроме точек, в которых . То есть кроме точек
,
где – целое число.
С другой стороны, сама функция y = tg x определена для всех x, кроме точек
.
Поэтому производная тангенса определена на всей области определения тангенса.

Пример

Найти производные от tg 2x, tg 3x и tg nx.

Решение

Найдем производную от функции tg nx.
Представим эту функцию как сложную, состоящую из двух функций:
1)   Функции , зависящей от переменной :  ;
2)   Функции , зависящей от переменной :  .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Заменим :
.

Подставляя вместо n значения и , получаем производные функций tg 2x и tg 3x:
;
.

Ответ

;
;
.

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков

К сожалению, простой формулы, для производной n-го порядка от функции y = tg x, нет. Однако, если требуется найти производные высшего порядка, то процесс дифференцирования можно упростить и свести его к дифференцированию многочлена.

Для этого заметим, что производную от тангенса можно выразить через сам тангенс (через саму функцию):
.
Тем самым мы нашли дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет тангенс:
(6)   .

Найдем производную второго порядка, дифференцируя уравнение (6) и применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Подставим (6):
(7)   .

Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7) и применяем правило дифференцирования сложной функции. Также используем выражение (6) для первой производной:
.

Аналогичным способом находим производные четвертого и пятого порядков:

;

.

В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции тангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням тангенса:
.
Коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:
,
где
;   ;
.

Общая формула

Процесс дифференцирования можно представить одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная тангенса имеет следующий вид:
,
где .

Опубликовано: