Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная дроби из двух функций

Формула производной дроби из двух функций. Доказательство двумя способами. Подробно разобранные примеры дифференцирования частного.

Пусть функции     и     определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. И пусть  . Тогда их частное    имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)   .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции   и   имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции   и   непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является дробью из функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Умножим на  :

.
Отсюда
.

Теперь находим производную:

.

Итак,
.
Формула доказана.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , причем  , то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)   .

Доказательство вторым способом

Рассмотрим уравнение
.
Здесь , и есть функции от переменной x.
Умножим на  :
.
Дифференцируем по переменной x, применяя формулу производной произведения двух функций:
.
Отсюда находим искомую производную:
;
.

Примеры

Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной.

Пример 1

Найдите производную дроби
,
где , , , – постоянные.

Решение

Применим правило дифференцирования суммы функций:
.
Производная постоянной
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
.

Заменим на и на :
.

Теперь находим производную дроби по формуле
.

.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Решение

Применяем правила дифференцирования, как в предыдущем примере.
;
.

Применяем правило дифференцирования дроби
.


.

Раскрываем скобки.

.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную дроби
.

Решение

Из таблицы производных находим:
.
Применяем правила дифференцирования суммы и постоянной.
;
.

Применяем формулу для производной дроби:
;

.

Ответ

.

Опубликовано:   Изменено: