Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вычисление производных с помощью логарифмической производной

Приводятся примеры вычисления производных с помощью логарифмической производной.

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции
,
ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции,
.
Отсюда
.

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.

Логарифмическая производная функции   y = f(x) – это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x) )′.

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Далее мы приводим примеры вычисления производных для следующих функций:
;   ;   .

Пример 1

Найти производную функции:
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
.

Дифференцируем по переменной x.
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
;
;
;
;
.
Умножим на :

.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.

Ответ

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем:
.
Дифференцируем по переменной x:
;
;

;
;
;
.

Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.

Производная исходной функции:
.

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что   :
.

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
.

Поскольку   , то

.

Ответ

.

Опубликовано: