Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная функции, заданной неявно

Производная неявной функции первого, второго и третьего порядка
Формула производной функции, заданной неявно. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Производная первого порядка

Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)   .
И пусть это уравнение, при некотором значении , имеет единственное решение . Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке , причем
.
Тогда, при этом значении , существует производная , которая определяется по формуле:
(2)   .

Доказательство

Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)   :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и , то
(4)   ;
.

Формула доказана.

Производные высших порядков

Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)   .
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)   .

Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения:

.
По формуле производной суммы:


.

Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)   .
Подставив сюда производную , получим значение производной второго порядка в неявном виде.

Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.

Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.

Примеры

Пример 1

Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)   .

Решение по формуле 2

Находим производную по формуле (2):
(2)   .

Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид  .
.
Отсюда  .

Находим производную по , считая постоянной.
;
;
;
.

Находим производную по переменной , считая переменную постоянной.
;
;
;
.

По формуле (2) находим:
.

Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), . Подставим  :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.

Решение вторым способом

Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Применяем формулу производной дроби:
;
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)   ;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.

Подставим    (из уравнения (П1)):
.
Умножим на  :
.

Ответ

Пример 2

Найти производную второго порядка от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение, по переменной , считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.

Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что  . Подставим  :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)   .
Находим производную первого порядка:
(П2.3)   .

Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :

;
.
Отсюда находим производную второго порядка.

Ответ

Пример 3

Найти производную третьего порядка при от функции , заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)   .

Решение

Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)   ;

Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)   .

Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)   .

Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.

Ответ

.

Опубликовано: