Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная произведения двух функций

Формула производной произведения двух функций. Доказательство и подробно разобранные примеры применения этой формулы.

Пусть функции     и     определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)   .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции   и   имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции   и   непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :



.
Теперь находим производную:


.

Итак,
.
Правило доказано.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)   .

Следствие

Пусть являются функциями от независимой переменной x. Тогда
;
;
и т. д. ...

Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций     и   , а затем – для функций     и   :

.

Аналогично доказываются другие подобные формулы.

Примеры

Пример 1

Найдите производную
.

Решение

Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1)   .
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
.

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Решение

Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1)   .
.

Применяем формулу производной суммы и разности функций:
.
.

Применяем правила дифференцирования постоянных:
;
.
;
.

Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
;
;
.

Окончательно имеем:

.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную функции
.

Решение

Последовательно применяем правила дифференцирования.

;
;
;
;

.

Ответ

.

Опубликовано:   Изменено: