Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций

Формула Лейбница для n-й производной произведения двух функций
Приводится формула Лейбница для вычисления n-й производной произведения двух функций. Приводится доказательство формулы Лейбница двумя способами. Рассмотрен пример вычисления производной n-го порядка.

С помощью формулы Лейбница можно вычислить производную n-го порядка от произведения двух функций. Она имеет следующий вид:
(1)   ,
где
– биномиальные коэффициенты.

Биномиальные коэффициенты являются коэффициентами разложения бинома по степеням и :
.
Также число является числом сочетаний из n по k.

Доказательство формулы Лейбница

Применим формулу производной произведения двух функций:
(2)   .
Перепишем формулу (2) в следующем виде:
.
То есть мы считаем, что одна функция зависит от переменной x, а другая – от переменной y. В конце расчета мы полагаем . Тогда предыдущую формулу можно записать так:
(3)   .
Поскольку производная равна сумме членов, и каждый член является произведением двух функций, то для вычисления производных высших порядков, можно последовательно применять правило (3).

Тогда для производной n-го порядка имеем:

.
Учитывая, что и , мы получаем формулу Лейбница:
(1)   .

Доказательство методом индукции

Приведем доказательство формулы Лейбница методом математической индукции.

Еще раз выпишем формулу Лейбница:
(4)   .
При n = 1 имеем:
.
Это формула производной произведения двух функций. Она справедлива.

Предположим, что формула (4) справедлива для производной n-го порядка. Докажем, что она справедлива для производной n + 1-го порядка.

Дифференцируем (4):
;



.
Итак, мы нашли:
(5)   .

Далее замечаем, что
;
;

.

Подставим в (5) и учтем, что   :

.
Отсюда видно, что формула (4) имеет тот же вид и для производной n + 1-го порядка.

Итак, формула (4) справедлива при n = 1. Из предположения, что она выполняется, для некоторого числа n = m следует, что она выполняется для n = m + 1.
Формула Лейбница доказана.

Пример

Вычислить n-ю производную функции
.

Решение

Применим формулу Лейбница
(2)   .
В нашем случае
;
.

Находим производные от функции .
По таблице производных имеем:
.
Применяем свойства тригонометрических функций:
.
Тогда
.
Отсюда видно, что дифференцирование функции синус приводит к ее сдвигу на . Тогда
.

Находим производные от функции   .
;
;
;
,   .

Поскольку при , то в формуле Лейбница отличны от нуля только первые три члена. Находим биномиальные коэффициенты.
;
.

По формуле Лейбница имеем:

.

Ответ

.

Опубликовано: