Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Доказательство формулы производной сложной функции

Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если   , то
.
Если   , то
.
Если   , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Причем функция дифференцируема при некотором значении переменной x, а функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1)   .

Формулу (1) также можно записать следующим образом:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении x, является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Эта формула справедлива для любой дифференцируемой функции. Поэтому она справедлива и для функции
;
.
Поскольку функция является дифференцируемой, то она непрерывна. Поэтому
. Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных.

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– функция, определенная в окрестности точки , и имеющая непрерывные частные производные в этой точке. Тогда
(2)   .

Доказательство

Будем считать, что формула (2) записана для значения переменной .
Пусть ;   . Поскольку функция f имеет непрерывные частные производные в точке , то она имеет частные производные в некоторой окрестности этой точки. Поэтому функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Введем следующие обозначения.
;
.

Поскольку функции и дифференцируемы в точке x = x0, то существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.
Как было отмечено выше, в некоторой окрестности точки , существуют частные производные функции f:
;
.

Рассмотрим следующие функции:
(3)   .
(4)   ;
(5)   ;
(6)   .

Очевидно, что
;   ;   ;   .
Функции и не определены при и . Определим их. Пусть
;   .
Тогда функции и непрерывны в точках .

Теперь рассмотрим приращения функций. Из (3-6) имеем:
(7)   ;
(8)   ;
(9)   ;
(10)   .

Запишем приращение функции f в точке и преобразуем его, применяя формулы (7) и (8).


.
Разделим на .
.

Теперь находим производную исходной функции. Для этого учтем, что частная производная и функции и непрерывны в соответствующих точках. Также учтем, что в силу (9) и (10), при , и .

;
;
;
;
;
.

Подставляя найденные пределы, получаем формулу производной сложной функции: .
Изменим обозначения. Заменим на . Тогда
,
где ;   . Или
(2)   .

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных, то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– функция, определенная в окрестности точки , , и имеющая непрерывные частные производные в этой точке. Тогда
(11)   .

Доказательство аналогично доказательству для двух переменных. Так, приращение функции f имеет следующий вид:






.
Если мы разделим это приращение на и выполним предел , то получим следующую формулу:
.
Если заменить на , то
,
где ;   ;   . Или
(11)   .

И, наконец, рассмотрим самый общий случай.
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– функция, определенная в окрестности точки , , ... , , и имеющая непрерывные частные производные в этой точке. Тогда
.

Опубликовано: