Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Кинематика

Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки
Кинематика – это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематика точки

Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в неподвижной точке O. Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Таким образом, положение точки определяется вектором, проведенным из начала координат O в точку M. Такой вектор называют радиус-вектором:
,
где – единичные векторы в направлении осей x, y, z.

Скорость точки – это производная радиус-вектора по времени:
.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки. Модуль скорости:
.

Ускорение точки – это производная вектора скорости по времени:
.
Модуль ускорения:
.

Касательное (тангенциальное) ускорение – это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости:
;
.
Оно вызывает изменение модуля скорости:
.
При скорость, по абсолютной величине, возрастает, и вектор направлен вдоль скорости. При скорость убывает, и вектор направлен противоположно скорости.

Нормальное ускорение перпендикулярно вектору скорости и направлено к центру кривизны траектории:
.
Оно вызывает изменение направления скорости и связано с радиусом кривизны траектории ρ:
.
Отсюда
.

Полное ускорение равно векторной сумме касательного и нормального ускорений:
.
Поскольку касательное ускорение перпендикулярно нормальному, , то
.

См. подробнее:   Кинематика материальной точки > > >

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (xA, yA, zA) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
;   ;   .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1)   ;
(2)   .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела. Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела.

См. вывод формул (1) и (2) на странице:   Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел Кинематика точки.

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна ax . Тогда проекция скорости vx и x – координата этой точки зависят от времени t по закону:
vx = vx0 + axt;
,
где vx0 и x0 – скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0.

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O. Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z – координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy. Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z:
;   .
Пусть φ – угол поворота тела, который зависит от времени t. Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z:
;
.

Скорость и ускорение точки при вращении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим движение точки M, которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r.
Скорость точки:
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение:
aτ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение:
.
Оно направлено к оси вращения O.
Полное ускорение:
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения:
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε, угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω0 + ε t;
,
где ω0 и φ0 – угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0.

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz. Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z – координаты точек тела остаются постоянными, z – компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z. Их x и y компоненты равны нулю.

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
vA cos α = vB cos β.
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

См. подробнее: Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую >>>

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B. Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P. Угловая скорость вращения тела:
.

Определение мгновенного центра скоростей

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0. Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Разложение скорости на поступательную и вращательную компоненты

Разложение скорости на поступательную и вращательную компоненты

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω, то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1), которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где – скорость вращательного движения точки M относительно точки A. То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω, если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
vMA = ω |AM|.
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A.

Определение ускорений точек плоского тела

Определение ускорений точек плоского тела

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2). Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A, считая точку A неподвижной:
.
  можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A. Здесь ω и ε – угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O1x1y1z1 – неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz – подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O1x1y1z1. Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть – угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O1x1y1z1.

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O1x1y1z1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
– кориолисово ускорение.

См. подробнее: Сложное движение точки, теорема Кориолиса >>>
Сложное движение точки. Пример решения задачи >>>

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru