Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую. Доказательство теоремы. Пример решения задачи.

Теорема

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
vA cos α = vB cos β.

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Доказательство

Выберем прямоугольную неподвижную систему координат Oxyz. Возьмем две произвольные точки твердого тела A и B. Пусть (xA, yA, zA) и (xB, yB, zB) – координаты этих точек. При движении твердого тела они являются функциями от времени t. Дифференцируя по времени, получаем проекции скоростей точек.
, .

Воспользуемся тем, что при движении твердого тела, расстояние |AB| между точками остается постоянным, то есть не зависит от времени t. Также постоянным является квадрат расстояния
.
Продифференцируем это уравнение по времени t, применяя правило дифференцирования сложной функции.

Сократим на 2.
(1)  

Введем вектор
.
Тогда уравнение (1) можно представить в виде скалярного произведения векторов.
(2)  
Выполняем преобразования.
;
(3)   .
По свойству скалярного произведения
,
.
Подставляем в (3) и сокращаем на |AB|.
;

Что и требовалось доказать.

Относительная скорость

Рассмотрим движение точки B относительно точки A. Введем относительную скорость точки B относительно A.

Тогда уравнение (2) можно переписать в виде
.

То есть относительная скорость перпендикулярна вектору , проведенному из точки A в точку B. Поскольку точка B взята произвольным образом, то относительная скорость любой точки твердого тела перпендикулярна радиус вектору, проведенному из точки A. То есть относительно точки A тело совершает вращательное движение. Относительная скорость точек тела определяется по формуле для вращательного движения
.

Точку A, относительно которой рассматривают движение, часто называют полюсом.

Абсолютную скорость точки B относительно неподвижной системы координат можно записать в следующем виде:
.
Она равна сумме скорости поступательного движения произвольной точки A (полюса) и скорости вращательного движения относительно полюса A.

Пример решения задачи

Условие задачи

Рисунок к условию задачи

Рисунок к условию задачи

Колеса 1 и 2 с радиусами R1 = 0,15 м и R2 = 0,3 м, соответственно, соединены шарнирами со стержнем 3 длины |AB| = 0,5 м. Колесо 1 вращается с угловой скоростью ω1 = 1 рад/с. Для изображенного на рисунке положения механизма, определить угловую скорость ω2 колеса 2. Принять L = 0,3 м.

Решение задачи

Рисунок к решению задачи

Рисунок к решению задачи

Точка A движется по окружности радиуса R1 вокруг центра вращения O1. Скорость точки A определяется по формуле
VA = ω1R1.
Вектор направлен вертикально (перпендикулярно O1A).

Точка B движется по окружности радиуса R2 вокруг центра вращения O2. Скорость точки B определяется по формуле
VB = ω2R2.
Отсюда
.
Вектор направлен горизонтально (перпендикулярно O2B).

Строим прямоугольный треугольник ABC. Применяем теорему Пифагора.
(м)
Косинус угла между вектором скорости и прямой AB, в направлении вектора , равен
.
Косинус угла между вектором скорости и прямой AB, в направлении вектора , равен
.

По теореме о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую имеем:
VA cos α = VB cos β.
Отсюда
.

Находим угловую скорость колеса 2.
рад/с.

Ответ

ω2 = 0,667 рад/с

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru