Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где     – кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным.

Сложное или составное движение точки

– это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении

– это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении

– это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении

– это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Пусть Oxyz – неподвижная система координат, O_n x_o y_o z_o – подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть   – единичные векторы (орты), направленные вдоль осей  x_o , y_o , z_o   подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор     точки M  в неподвижной системе определяется по формуле:
(1)   ,
где     – радиус-вектор точки O_n   – начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты   x_o , y_o , z_o   точки относительно тела. А векторы     являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая     постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2)   ;
(3)   .

Относительная скорость точки при сложном движении

– это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении

– это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы   , определяющие положение тела. Относительные координаты точки x_o , y_o , z_o   являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая x_o , y_o , z_o постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4)   ;
(5)   .

Переносная скорость точки при сложном движении

– это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении

– это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от     – это скорость и ускорение начала подвижной системы координат O_n :   ;   .

Найдем формулы для производных по времени от векторов   . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B. Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела”). Рассмотрим вектор   , проведенный из точки A в точку B. Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы     жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6)   ,   ,   .

Подставляем в (4):

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5), получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где     – угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы   , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки   x_o , y_o , z_o .

Абсолютная скорость точки при сложном движении

– это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении

– это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
  – кориолисово ускорение.

Доказательство

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 23-10-2015