Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Оси естественного трехгранника Френе

Определение естественного трехгранника Френе. Проекции скорости и ускорения точки на его оси. Пример определения ортов естественного трехгранника.

На странице “Кинематика материальной точки” мы установили, что вектор скорости движения точки направлен по касательной к траектории. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и его можно разложить на две составляющие. Одна составляющая направлена по касательной к траектории. Вторая составляющая направлена перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

В некоторых случаях удобно ввести систему координат, связанную с текущим положением точки. Рассмотрим точку в определенный момент времени. Считаем, что нам известна траектория ее движения. Проведем через точку три прямых – касательную к траектории, главную нормаль и бинормаль. Главная нормаль перпендикулярна касательной и направлена в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Бинормаль перпендикулярна касательной и главной нормали. Выберем систему координат с началом в точке и осями, направленными вдоль этих прямых. Такую систему координат называют естественным трехгранником Френе. Оси этой системы координат называются осями естественного трехгранника.

Орты естественного трехгранника

Орты естественного трехгранника

Пусть , и – единичные векторы, направленные вдоль касательной, главной нормали и бинормали к траектории, соответственно. Эти векторы являются ортами выбранной нами системы координат или ортами естественного трехгранника. Рассмотрим вопрос о выборе направления этих векторов.

Вектор направлен вдоль касательной к траектории. Поэтому можно выбрать два взаимно противоположных направления. Самый удобный способ – это направить вдоль вектора скорости точки. Тогда
.
Однако, это не всегда можно сделать. Встречаются случаи, когда траектория движения заранее известна, а скорость – нет. Например, при движении точки по желобу внутри твердого тела под действием внешних сил. В таких случаях направление вектора выбирают заранее. Например, в сторону возрастания дуговой координаты.

Направление единичного вектора главной нормали определено однозначно. Он направлен перпендикулярно , в сторону мгновенного центра кривизны траектории.

Вектор бинормали направлен перпендикулярно векторам и так, чтобы три вектора , и образовали правостороннюю систему координат:
.

Скорость и ускорение точки в трехграннике Френе

Считаем, что вектор совпадает по направлению с вектором скорости точки. Тогда применим формулы, которые мы вывели на странице “Кинематика материальной точки”.

;
.

То есть, в естественном трехграннике с ортами , скорость имеет одну компоненту:
,
равную модулю скорости. Иными словами, модуль скорости – это проекция вектора скорости на ось естественного трехгранника. Проекции вектора скорости на оси и трехгранника равны нулю.

Ускорение имеет две компоненты:
,
Этими компонентами являются касательное и нормальное ускорения:
;
.
То есть касательное и нормальное ускорения – это проекции вектора ускорения на оси и естественного трехгранника. Проекция вектора ускорения на ось равна нулю.

Как определить оси естественного трехгранника

Далее мы считаем, что у нас есть неподвижная система координат . Материальная точка совершает движение. Требуется найти оси естественного трехгранника. То есть определить проекции ортов , и в системе координат .

Для координатного и векторного способов задания движения

Для координатного и векторного способов задания движения точки, формулы для определения ортов представлены на странице “Кинематика материальной точки”. На странице “Координатный способ задания движения точки” разобран пример вычисления компонентов векторов .

То есть, чтобы определить орты естественного трехгранника, нужно найти компоненты векторов скорости и нормального ускорения , применяя следующие формулы:
;
;
;
.

Далее определяем орты естественного трехгранника:
;
;
.

Для естественного способа задания движения

При естественном способе задания движения точки нам известна траектория ее движения. Поэтому перед нами стоит задача – по известной траектории, определить орты естественного трехгранника. Если траектория представляет собой простую геометрическую фигуру, например окружность, то определить векторы , и можно геометрически.

В общем, и более сложном случае, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде. Для этого вводим параметр . Это можно сделать многими способами. Поэтому желательно выбрать наиболее удобное представление.

Пусть, например, траекторией движения является эллипс, лежащий в плоскости :
.
Наиболее удобное параметрическое представление можно получить, если воспользоваться тригонометрической формулой:
.
Тогда уравнение траектории имеет вид:

Здесь – параметр.

Это не единственный способ получить параметрическое представление. Можно, например, разрешить уравнение эллипса относительно :
.
Применяя эту формулу, получим другое параметрическое представление:

Далее считаем, что эти параметрические уравнения описывают движение материальной точки, в котором параметр играет роль времени. Тогда, для определения осей трехгранника, можно применить формулы, применяемые для векторного и координатного способов задания движения. Вычисленные, таким образом, скорость и ускорение будут зависеть от выбранного параметрического представления. Но геометрические характеристики траектории, такие как орты , , и радиус кривизны траектории не зависят от выбранного параметрического представления.

Итак, чтобы найти орты естественного трехгранника по заданной траектории движения, нужно представить уравнение траектории в параметрическом виде и применить формулы, применяемые при координатном способе задания движения.

Пример определения ортов естественного трехгранника

Найти единичные векторы в направлении осей естественного трехгранника, а также радиус кривизны траектории, для цилиндрической винтовой линии с радиусом основания и шагом .

Решение
Трехгранник винтовой линии

Выберем систему координат . Ось направим вдоль оси винтовой линии. Тогда уравнение линии можно представить в следующем параметрическом виде:
(1)  
Здесь – параметр; . Если взять проекцию точки линии, на плоскость , то – это угол между осью и проекцией . При увеличении на , координаты и точки возвращаются в первоначальной положение, а координата увеличивается на .

Считаем, что уравнения (1) описывают движение точки по винтовой линии. Определяем кинематические величины для такого движения.

Дифференцируя уравнения (1) по , находим компоненты вектора скорости:
;
;
.

Квадрат скорости:
.
Модуль скорости:
.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Дифференцируя компоненты вектора скорости по , находим компоненты вектора ускорения:
;
;
.

Касательное ускорение – это проекция ускорения на направление вектора :

.
Этот результат можно получить и более простым способом. Для этого учтем, что модуль скорости не зависит от и применим формулу:
.
Вектор касательного ускорения:
.

Вектор нормального ускорения:

.

Квадрат вектора нормального ускорения:
.
Модуль вектора нормального ускорения:
.

Радиус кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:


.

Ответ

;
;
;
,
где .

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru