Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:
- метод интегрирующего множителя;
- метод введения двух функций (Бернулли);
- метод вариации постоянной (Лагранжа).
Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.
Метод вариации постоянной (Лагранжа)
В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.
Рассмотрим уравнение:
(1)
Шаг 1 Решение однородного уравнения
Ищем решение однородного уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными
Разделяем переменные - умножаем на dx, делим на y:
Интегрируем:
Интеграл по y - табличный:
Тогда
Потенцируем:
Заменим постоянную eC на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1, которую включим в C:
Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию
Теперь заменим постоянную C на функцию от x:
C → u(x)
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.
Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа
Решить уравнение
.
Решение
Решаем однородное уравнение:
Разделяем переменные:
Умножим на :
Интегрируем:
Интегралы табличные:
Потенцируем:
Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:
Отсюда:
Заменим постоянную C на функцию от x:
C → u(x)
Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.
Ответ
Общее решение уравнения:
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: