Методы решения физико-математических задач

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Обобщенное однородное дифференциальное уравнение
Показано как распознать и решить обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрен пример подробного решения такого уравнения.
Обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка называется обобщенно однородным, если существует такое отличное от нуля и единицы число , при котором это уравнение не меняет своего вида после замены
,
где – постоянная. При такой замене производная умножается на :
.

Уравнения, разрешенные относительно производной, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой
(5)   , где – функция от .
Кроме этого, любое обобщенно однородное уравнение приводятся к уравнениям, не содержащих независимую переменную подстановками
(6)   ,
где – функция от .

В общем виде, обобщенно однородные уравнения можно записать так:
(1)   , где функция обладает следующим свойством:
(2)   .
Здесь может зависеть от переменных и .

Обобщенно однородные уравнения, разрешенные относительно производной, можно представить в следующем виде:
(3)   ,
где и однородные функции с равными показателями однородности.
Также, такие уравнения можно записать, используя только одну произвольную функцию :
(4)   .

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену
.
Если удастся выбрать такое значение s, при котором постоянная t сократится, то это обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Решение

Делаем замену :
;
.
Разделим на t s+5:
;
.
Уравнение не будет содержать t, если
4s – 6 = 0,   s = 3/2.
Поскольку при s = 3/2, t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.

Методы решения

Общий вид обобщенно однородных уравнений

Сначала проясним вопрос, почему в определении тестовая переменная является постоянной, а в (2) может быть функцией. На самом деле форма (1) не описывает все возможные варианты записи обобщенно однородных уравнений. В более общем случае, дифференциальное уравнение можно представить в виде различных комбинаций, составленных из переменных и дифференциалов. Тогда, чтобы иметь возможность выносить тестовую переменную за знаки дифференциалов, ее нужно считать постоянной. Но в форме (1) она уже вынесена из под дифференциалов, поэтому может быть функцией.
Во всех этих и дальнейших рассуждениях подразумевается, что значения и таковы, что при них определены все используемые функции.

Легко убедиться, что формы (1), (3) и (4) описывают обобщенно однородные уравнения. Для этого сделаем в них замены .
Для формы (1), используем свойство (2):

;
;
.
сократилось – это обобщенно однородное уравнение.
Для формы (3), используем определение однородной функции и учтем, что показатели однородности функций и равны:

;
;
.
сократилось.
Для формы (4):

;
.
Здесь также сократилось.

Теперь покажем, как от формы (3) перейти к (4). Разделим (3) на , воспользуемся однородностью функций и , и что их показатели однородности равны. При имеем:

,
где .
Поскольку мы отбросили случай , то эти формы не эквивалентны. Уравнение (3) может содержать дополнительные решения, определяемые из уравнения . Остальные решения этих уравнений совпадают.

Решение уравнений, разрешенных относительно производной

Рассмотрим разрешенное относительно производной обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка в форме (4):
.
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки
.
Действительно,
.
Отсюда
;   .
Подставляем в исходное уравнение:
;
.

Это однородное уравнение. Оно решается заменой
,
где u – функция от t.

Однако, при решении задач, проще сразу применить подстановку
(5)   , где – функция от .

Также можно ввести переменные и сделать замену
(6)   .
Покажем, что при этом уравнение
(4)  
приводится к разделяющимся переменным.

Выразим производную через переменные и .
;
;
;
;
(7)   .

Подставляем в (4):
;
;
;
;
;
.
И мы получили уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнения, неразрешенные относительно производной

Покажем, что любые обобщенно однородные уравнения, в том числе и неразрешенные относительно производной, приводятся к уравнениям, не содержащих независимую переменную подстановками
(6)   ,
где – функция от .

Ранее мы уже нашли выражение производной через переменные и :
(7)   .
Подставим в (1) и применим свойство (2).
;
;
;
;
.
Мы получили уравнение, содержащее в явном виде только зависимую переменную и ее производную . Оно не содержит зависимую переменную .
См. Решение дифференциальных уравнений, не содержащих одну из переменных

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1)   .

Решение первым способом

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t s· y, x → t·x, y′ → t s–1 y′.
.
Разделим на t s:
.
t сократится, если положить s = –1. Значит – это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку
, где u – функция от x.
.
Подставляем в исходное уравнение:
(П.1)   ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножаем на dx и делим на . При имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С:
.

Возвращаемся к переменной y. Подставляем u = xy:
.
Делим на x:
(П.2)   .

Когда мы делили на , то предполагали, что . Теперь рассмотрим случай , или .
Легко проверить, что постоянная функция удовлетворяет исходному уравнению (П.1). Поэтому она является его решением. Поскольку это решение не входит в (П.2), то добавим его к полученному общему интегралу.

Ответ

;
.

Решение вторым способом

Теперь решим уравнение подстановкой
(6) ,
перейдя к новым переменным и .

Выше мы нашли выражение производной через переменные и :
(7)   .
Для подстановки примут вид.
.
Подставляем в исходное уравнение и решаем его.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Осталось рассмотреть случай . В результате получаем частное решение .

Ответ

;
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Меню