Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Введение
- Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах
- – это уравнение вида:
(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y:
.
При этом .
Если найдена такая функция U(x, y), то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0.
Его общий интеграл:
U(x, y) = C,
где C – постоянная.
Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx. Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .
Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах
было уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .
Доказательство
Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y. Точка x0, y0 также принадлежит этой области.
Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y):
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.
Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y), что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y), которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x0 до x, считая что y – это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):
.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y0 до y:
;
;
.
Подставляем в (5):
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.
В формуле (6), U(x0, y0) является постоянной – значением функции U(x, y) в точке x0, y0. Ей можно присвоить любое значение.
Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.
Пример
Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.
Решение
Здесь
, .
Дифференцируем по y, считая x постоянной:
.
Дифференцируем по x, считая y постоянной:
.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.
Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
Метод последовательного выделения дифференциала
Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v);
v du + u dv = d(uv);
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.
Пример 1
Решить уравнение:
.
Решение
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;
.
Подставляем в (П1):
;
.
Ответ
.
Метод последовательного интегрирования
В этом методе мы ищем функцию U(x, y), удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) – произвольная функция от y, которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y).
Пример 2
Решить уравнение в полных дифференциалах:
.
Решение
Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U(x, y), дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x, считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y:
.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):
.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const.
Объединяем две постоянные в одну.
Ответ
.
Метод интегрирования вдоль кривой
Функцию U, определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x0, y0) и (x, y):
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x0, y0) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x0 и y0 – постоянные. Поэтому U(x0, y0) – также постоянная.
Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y, от точки (x0 , y0) до точки (x0 , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x, от точки (x0 , y) до точки (x, y) .
В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x0 , y0) и (x, y) в параметрическом виде:
x1 = s(t1); y1 = r(t1);
x0 = s(t0); y0 = r(t0);
x = s(t); y = r(t);
и интегрировать по t1 от t0 до t.
Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x0 , y0) и (x, y). В этом случае:
x1 = x0 + (x – x0) t1; y1 = y0 + (y – y0) t1;
t0 = 0; t = 1;
dx1 = (x – x0) dt1; dy1 = (y – y0) dt1.
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1.
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: