Формула Коши для повторных интегралов
Формула Коши
Формула Коши позволяет свести повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)
.
Здесь f – интегрируемая на отрезке функция. При этом является частным решением дифференциального уравнения
(2)
с начальными условиями
(3) .
Часто в литературе повторный интеграл записывают так:
.
Решение дифференциального уравнения y(n)=f(x)
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
Изменим обозначение переменной x на :
.
Проинтегрируем по от до x:
;
.
Часто, во входящем сюда интеграле, для переменной интегрирования используют такое же обозначение, как и для верхнего предела интегрирования: . Это делают только с одной целью – уменьшить количество используемых переменных и получить более короткие формулы. Однако такая форма записи может привести к заблуждению. Для обозначения переменной интегрирования и пределов интегрирования лучше использовать различные переменные.
Переименуем переменную x на , и проинтегрируем по от до x:
;
;
;
.
Тем же способом интегрируем еще раз:
;
;
;
.
Выполняя интегрирование n раз, получим решение исходного дифференциального уравнения с начальными условиями :
(4)
.
Отсюда видно, что если положить , то повторный интеграл
является частным решением дифференциального уравнения (2) с начальными условиями
.
Формула (4) дает нам общее решение дифференциального уравнения (2). В правой части она содержит многочлен степени n. Если перейти к новым постоянным, то общее решение можно записать так:
.
Сведение повторного интеграла к однократному
Таким образом, для решения задачи, нам нужно проинтегрировать функцию n раз. Но оказывается, что стоящий в (4) интеграл можно преобразовать так, что задача сведется к вычислению только одного интеграла.
Случай n = 2
Для начала, возьмем случай . Рассмотрим входящий в (4) двукратный интеграл
(5) .
Изменим порядок интегрирования.
Изобразим область интегрирования на рисунке. Проводим оси координат . Проведем прямую . В (5) мы сначала интегрируем по переменной от до прямой . Затем мы интегрируем по переменной от до x. Областью интегрирования является множество точек треугольника ABC с вершинами .
Изменим порядок интегрирования. Сначала проинтегрируем по переменной от прямой до x, а затем по от до x. Тогда
(6) .
Поскольку функция f не зависит от переменной , то в первом интеграле она является постоянной. Это позволяет нам его вычислить:
.
Подставим в (6):
.
Видно, что при изменении порядка интегрирования, мы смогли вычислить один интеграл. В результате повторное интегрирование свелось к однократному интегралу:
(7) .
Случай n = 3
Далее можно рассмотреть случай :
(8) .
Используем формулу (7), в которой заменим x на :
.
Применим ее для трехкратного интеграла (8):
.
Теперь поменяем порядок интегрирования, как мы это делали ранее ⇑, только вместо переменной у нас будет :
(9) .
Вычисляем первый интеграл:
;
Подставляем в (9):
.
Это наводит нас на мысль, что в общем случае, для произвольного n, повторный интеграл сводится к однократному по следующей формуле:
.
Докажем это методом математической индукции.
Доказательство формулы Коши
Тогда справедлива формула, сводящая повторный n-кратный интеграл к однократному:
(1)
.
При этом функция является частным решением дифференциального уравнения
(2)
с начальными условиями
(3) .
То что повторный интеграл
является частным решением дифференциального уравнения с начальными условиями (3), мы показали ранее ⇑.
Докажем формулу Коши (1), согласно которой повторный интеграл сводится к однократному. Доказательство будем производить методом математической индукции.
Подставим в (1) значение :
;
.
Поскольку обозначение переменной интегрирования (x1 или t) не влияет на значение интеграла, то при формула (1) справедлива.
Предположим, что формула (1) справедлива для некоторого значения n:
(10) .
Используя (10), нам нужно доказать, что она справедлива для значения :
(11) .
Для доказательства используем формулу (10), в которой заменим x на :
.
Подставим в левую часть (11), для удобства обозначая повторный интеграл как :
.
Изменим порядок интегрирования, как мы это делали выше ⇑. Только вместо переменных у нас будут :
(12)
.
Вычисляем первый интеграл:
.
Подставляем в (12):
.
Это совпадает с (11).
Формула Коши для повторных интегралов доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: