


где ai, bi, ci - постоянные коэффициенты.
Решение дифференциального уравнения Якоби
Рассмотрим уравнение Якоби:
(1)
Делаем подстановку:
Тогда:
Подставляем в (1):
Умножаем на ζ3 и вводим обозначения:
Получаем:
Это уравнение можно записать в виде равенства нулю определителя:
Определитель равен нулю, если строки линейно зависимы. Тогда нужно положить:
(2),
где t - новая вспомогательная переменная. Тем самым мы получили систему линейных уравнений, которая решается простыми методами. Решение этих уравнений дает три равенства с ξ, η, ζ, t. Присоединив к ним формулы ,
, мы получаем пять уравнений. Исключая из них ξ, η, ζ и t, найдем общий интеграл исходного уравнения (1).
В наиболее распространенном случае решение уравнений (2) дается равенствами:
Возводим их в степень (λ2 - λ3), (λ3 - λ1), (λ1 - λ2), соответственно:
Перемножая эти равенства, и замечая, что
и вводя новую постоянную
получаем:
В каждом множителе выносим ζ за скобки. Поскольку
то, переходя к переменным x и y, получаем общий интеграл уравнения Якоби в виде: