Дифференциальное уравнение Якоби
Определение
- Дифференциальное уравнение Якоби
- – это уравнение вида
,
где – постоянные коэффициенты.
Метод решения
Рассмотрим уравнение Якоби:
(1) .
Делаем подстановку:
.
Тогда:
;
.
Подставляем в (1):
.
Умножаем на и вводим обозначения:
.
Получаем:
Это уравнение можно записать в виде равенства нулю определителя:
Определитель равен нулю, если строки линейно зависимы. Тогда нужно положить:
(2)
где t – новая вспомогательная переменная. Тем самым мы получили систему линейных уравнений, которая решается простыми методами. Решение этих уравнений дает три равенства с ξ, η, ζ, t. Присоединив к ним формулы , мы получаем пять уравнений. Исключая из них ξ, η, ζ и t, найдем общий интеграл исходного уравнения (1).
В наиболее распространенном случае решение уравнений (2) дается равенствами:
Возводим их в степень , , , соответственно:
Перемножая эти равенства, и замечая, что
и вводя новую постоянную
получаем:
В каждом множителе выносим ζ за скобки. Поскольку
,
то, переходя к переменным x и y, получаем общий интеграл уравнения Якоби в виде:
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: