Дифференциальное уравнение Якоби

Дифференциальное уравнение Якоби – это уравнение вида

(a_1 x + b_1 y + c_1)dx + (a_2 x + b_2 y + c_2)dy + (a_3 x + b_3 y + c_3)(xdy - ydx) = 0

где a_i, b_i, c_i - постоянные коэффициенты.

Решение дифференциального уравнения Якоби

Рассмотрим уравнение Якоби:
(a_1 x + b_1 y + c_1)dx + (a_2 x + b_2 y + c_2)dy + (a_3 x + b_3 y + c_3)(xdy minus ydx) = 0 (1)
Делаем подстановку:

Тогда:
$dx~=~{zeta d xi minus xi d zeta}/{zeta^2};~~dy~=~{zeta d eta minus eta d zeta}/{zeta^2}$
$xi/zeta dot {zeta d eta minus eta d zeta}/{zeta^2}~minus~eta/zeta dot {zeta d xi minus xi d zeta}/{zeta^2}~=~$ ${xi zeta d eta minus xi eta d zeta}/{zeta^3}~minus~{eta zeta d xi minus eta xi d zeta}/{zeta^3}~=~$
$~=~{xi d eta minus eta d xi}/{zeta^2}$
Подставляем в (1):
$(a_1 xi/zeta + b_1 eta/zeta + c_1) {zeta d xi minus xi d zeta}/{zeta^2} +$ $(a_2 xi/zeta + b_2 eta/zeta + c_2) {zeta d eta minus eta d zeta}/{zeta^2} +$ $(a_3 xi/zeta + b_3 eta/zeta + c_3) {xi d eta minus eta d xi}/{zeta^2}~=~0$
Умножаем на ζ³ и вводим обозначения:

Получаем:

Это уравнение можно записать в виде равенства нулю определителя:
$delim{|}{ matrix{3}{3}{ {d xi} {d eta} {d zeta} xi eta zeta {minus s_2} s_1 s_3 } }{|}~=~0$
Определитель равен нулю, если строки линейно зависимы. Тогда нужно положить:
$delim{lbrace}{ matrix{3}{1}{ {{d xi}/dt~=~minus s_2~=~minus a_2 xi minus b_2 eta minus c_2 zeta}{{d eta}/dt~=~ s_1~=~a_1 xi + b_1 eta + c_1 zeta}{{d zeta}/dt~=~ s_3~=~a_3 xi + b_3 eta + c_3 zeta} } }{~}$ (2),
где t - новая вспомогательная переменная. Тем самым мы получили систему линейных уравнений, которая решается простыми методами. Решение этих уравнений дает три равенства с ξ, η, ζ, t. Присоединив к ним формулы , , мы получаем пять уравнений. Исключая из них ξ, η, ζ и t, найдем общий интеграл исходного уравнения (1).

В наиболее распространенном случае решение уравнений (2) дается равенствами:
$alpha_1 xi+beta_1 eta+gamma_1 zeta~=~C_1 e^{lambda_1 t}$
$alpha_2 xi+beta_2 eta+gamma_2 zeta~=~C_2 e^{lambda_2 t}$
$alpha_3 xi+beta_3 eta+gamma_3 zeta~=~C_3 e^{lambda_3 t}$
Возводим их в степень (λ₂ - λ₃), (λ₃ - λ₁), (λ₁ - λ₂), соответственно:
$(alpha_1 xi+beta_1 eta+gamma_1 zeta)^{lambda_2 - lambda_3}~=~$ ${C_1}^{lambda_2 - lambda_3} ~dot~(e^{lambda_1 t})^{lambda_2 - lambda_3}~=~$ ${C_1}^{lambda_2 - lambda_3}~dot~ e^{lambda_1 (lambda_2 - lambda_3) t}$
$(alpha_2 xi+beta_2 eta+gamma_2 zeta)^{lambda_3 - lambda_1}~=~$ ${C_2}^{lambda_3 - lambda_1} ~dot~(e^{lambda_2 t})^{lambda_3 - lambda_1}~=~$ ${C_2}^{lambda_3 - lambda_1}~dot~ e^{lambda_2 (lambda_3 - lambda_1) t}$
$(alpha_3 xi+beta_3 eta+gamma_3 zeta)^{lambda_1 - lambda_2}~=~$ ${C_3}^{lambda_1 - lambda_2} ~dot~(e^{lambda_3 t})^{lambda_1 - lambda_2}~=~$ ${C_3}^{lambda_1 - lambda_2}~dot~ e^{lambda_3 (lambda_1 - lambda_2) t}$
Перемножая эти равенства, и замечая, что
$e^{lambda_1 (lambda_2 - lambda_3) t}~dot~e^{lambda_2 (lambda_3 - lambda_1) t}~dot$ $~e^{lambda_3 (lambda_1 - lambda_2) t}~=~$ $e^{(lambda_1 lambda_2-lambda_1 lambda_3+lambda_2 lambda_3-lambda_2 lambda_1+lambda_3 lambda_1-lambda_3 lambda_2)t}$
и вводя новую постоянную
$C~=~{C_1}^{lambda_2 - lambda_3}~dot~{C_2}^{lambda_3 - lambda_1}~dot~{C_3}^{lambda_1 - lambda_2}$
получаем:
$(alpha_1 xi+beta_1 eta+gamma_1 zeta)^{lambda_2 - lambda_3}~dot$ $~(alpha_2 xi+beta_2 eta+gamma_2 zeta)^{lambda_3 - lambda_1}~dot$ $~(alpha_3 xi+beta_3 eta+gamma_3 zeta)^{lambda_1 - lambda_2}~=~C$
В каждом множителе выносим ζ за скобки. Поскольку
$zeta^{lambda_2 - lambda_3}~dot~zeta^{lambda_3 - lambda_1}~dot~zeta^{lambda_1 - lambda_2}~=~1$
то, переходя к переменным x и y, получаем общий интеграл уравнения Якоби в виде:
$(alpha_1 x+beta_1 y+gamma_1)^{lambda_2 - lambda_3}~dot~$ $(alpha_2 x+beta_2 y+gamma_2)^{lambda_3 - lambda_1}~dot~$ $(alpha_3 x+beta_3 y+gamma_3)^{lambda_1 - lambda_2}~=~C$