Методы решения физико-математических задач

Непрерывность функций – содержание раздела

Определение непрерывной функции
Содержание раздела "Непрерывность функций". Приводятся заголовки, главные изображения и описание содержания страниц.
Непрерывность функций – теоремы и свойства
Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.
Определение непрерывности функции в точке
Приводится определение непрерывности функции в точке. Рассмотрены эквивалентные определения по Гейне, по Коши и в терминах приращений. Определение односторонней непрерывности на концах отрезка. Формулировка отсутствия непрерывности. Разобраны примеры, в которых требуется доказать непрерывность функции, используя определения по Гейне и по Коши.
Свойства непрерывных в точке функций
Приводятся доказательства основных свойств и теорем, непрерывных в точке функций. Сюда входят: арифметические свойства, теорема об ограниченности, теорема о сохранении знака, свойство односторонней непрерывности.
Предел и непрерывность сложной функции
Приводятся доказательства следующих теорем: теоремы о непрерывности сложной функции; теоремы о пределе непрерывной функции от функции; теоремы о пределе сложной функции. Рассмотрен пример определения предела сложной функции в точке, в которой функции не являются непрерывными.
Точки разрыва функции – определения, классификация и примеры
Определения точек разрыва первого и второго рода. Основные факты, используемые при исследовании функций на непрерывность. Примеры решения задач, в которых требуется найти точки разрыва и определить вид разрыва.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
Доказательства первой и второй теорем Вейерштрасса об ограниченности и достижении максимума и минимума непрерывной на отрезке функции.
Теорема Больцано – Коши о промежуточном значении
Формулировка и доказательство теоремы Больцано – Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке .
Обратные функции – определение и свойства
Определение обратной функции и ее свойства: лемма о взаимной монотонности прямой и обратной функций; симметрия графиков прямой и обратной функций; теоремы о существовании и непрерывности обратной функции для функции, строго монотонной на отрезке, интервале и полуинтервале. Примеры обратных функций. Пример решения задачи. Доказательства свойств и теорем.
Неравенства и лемма Бернулли
Дано неравенство Бернулли и его следствие, которое называется леммой Бернулли. Неравенство приводится в двух формах. Приводятся доказательства неравенств и леммы.
Определение и доказательство свойств показательной функции
Рассмотрены свойства показательной функции на множестве натуральных, целых и рациональных чисел. Дается определение показательной функции на множестве действительных чисел. Приводится доказательство ее непрерывности и свойств.
Определение и доказательство свойств логарифма
Дано определение логарифма с основанием a как функции, обратной к показательной. Основываясь на свойствах показательной функции и теореме об обратной функции, дается вывод свойств логарифма.
Непрерывность и свойства степенной функции
Дано определение степенной функции. Показано, что ее можно представить как сложную, составленную из логарифмической и показательной функций. Основываясь на их свойствах, дается доказательство непрерывности и вывод свойств степенной функции.
Доказательство непрерывности тригонометрических функций
Дано доказательство непрерывности тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса; а также обратных к ним функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

.     Опубликовано: