Методы решения физико-математических задач

Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной
Проведен анализ геометрического смысла производной. Выявлено, что производная функции в точке связана с углом наклона касательной, проведенной к графику функции в рассматриваемой точке. Дано определение касательной, и получено ее уравнение. Рассмотрены случаи, когда производная равна бесконечности.

Геометрический смысл производной
1. Если существует конечная производная функции в точке , то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке . При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: , то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.

Исследование геометрического смысла производной

Исследуем геометрический смысл производной функции при некотором, заранее заданном значении аргумента . Считаем, что функция имеет конечную производную в . Тогда существует окрестность точки , в которой функция определена и имеет конечные значения. Проводим оси координат. По оси абсцисс будем откладывать значения переменной x; по оси ординат – значения переменной y. Строим график функции в окрестности точки .

Отмечаем точку , где . Выбираем на графике произвольную точку , где .

Секущая к графику функции.
Тангенс угла наклона секущей равен отношению приращения функции к приращению ее аргумента.

Проводим через и секущую . Далее через проводим прямую, параллельную оси x, а через – параллельную оси y. Точку пересечения этих прямых обозначим как A.

Треугольник – прямоугольный. Пусть α – угол между сторонами и . Тогда
.
Но . Отсюда
(1)   .
Поскольку прямая параллельна оси x, то угол α является углом между секущей и осью абсцисс x.

Касательная графика в точке.
Производная функции в x0 равна тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс: f′(x0) = tg α.

Теперь выполним предельный переход . При этом точка будет стремиться к , приближаясь к ней сколь угодно близко. Сама секущая также будет меняться, поворачиваясь вокруг точки . При она будет стремиться к некоторой предельной прямой, которую мы назовем касательной к графику в точке . Угол наклона α касательной мы найдем из (1), устремляя , и воспользовавшись определением производной:
.
Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла между касательной, проведенной через эту точку, и осью абсцисс.

Как известно из аналитической геометрии, уравнение прямой с угловым коэффициентом , и проходящей через точку имеет вид:
.
Подставляя , получаем уравнение касательной к графику в точке :
.

Определение касательной

Выше мы провели исследование, и пришли к новому геометрическому объекту – прямой, к которой стремятся секущие при устремлении к . Мы назвали этот объект касательной к графику. В классической геометрии такого объекта нет. Он появляется только в результате применения методов математического анализа. Поэтому мы должны дать его четкое математическое определение.

Касательная к графику функции
Пусть точки и принадлежат графику функции . Проведем через них секущую . Касательной к графику функции в точке называется прямая, уравнение которой получается из уравнения секущей при стремящемся к .
Наклонная касательная
– это касательная, угол α которой с осью абсцисс заключен в интервале . Уравнение наклонной касательной имеет вид:
,
где – угловой коэффициент – действительное число.
Вертикальная касательная
– это касательная, параллельная оси ординат. Уравнение вертикальной касательной имеет вид:
.
Секущая
– это прямая, которая пересекает кривую как минимум в двух точках.

Теорема о геометрическом смысле производной

1. Если существует конечная производная функции в точке , то она равна тангенсу угла между осью абсцисс x и наклонной касательной, проведенной к графику функции в точке . При этом угол считается положительным, если график касательной возрастает; угол отрицательный – если убывает. Другими словами, производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной графика функции в точке , а уравнение касательной имеет вид:
.
2. Если производная функции в точке равна бесконечности: , то в этой точке график имеет вертикальную касательную, описываемую уравнением
.

Доказательство

Секущая к графику функции.

Возьмем на графике функции произвольную точку , отличную от . Здесь . Проведем через точки и прямую, которая является секущей. Составим уравнение прямой, проходящей через эти точки. В наиболее общей форме оно имеет следующий вид:
(Т1)   .

Выполняем предельный переход .

1. Пусть в точке существует конечная производная функции.
Перепишем уравнение (Т1) в эквивалентном виде учитывая, что :
.
Считаем, что x и постоянные, то есть заранее заданные числа. Выполняем предельный переход , применяя определение производной:
;
(Т2)   .

Мы видим, что при , график секущей (Т1) преобразуется в прямую (Т2), которая является касательной по приведенному выше определению. Как видно из (Т2), касательная является прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом, равным производной функции в . Из аналитической геометрии известно, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла α между осью абсцисс и этой прямой. Тогда:
.

2. Пусть в точке производная функции равна бесконечности: .

Чтобы разделить уравнение (Т1) на покажем, что существует такая проколотая окрестность точки , в которой
при .
Введем обозначение: . Тогда
.
Согласно определению бесконечного предела функции это означает, что для любого числа M существует такая проколотая окрестность точки , в которой . Возьмем . Тогда существует проколотая окрестность , в которой , то есть в этой окрестности . Поскольку , то отсюда .

Далее рассматриваем в окрестности точки , на которой или, что тоже самое, . Перепишем уравнение (Т1) в эквивалентном виде учитывая, что :
.
Считаем, что y и постоянные. Выполняем предельный переход . По условию, . Применяем свойства бесконечно больших функций:
.

Тем самым мы нашли, что если , то касательная имеет вид
.
Это уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси ординат.

Теорема доказана.

Производная равна бесконечности

Если производная в равна бесконечности, то касательная вертикальна, но возможны три случая: 1) Производная равна плюс бесконечности: ; 2) производная равна минус бесконечности: ; 3) производная равна бесконечности без определенного знака: .

Производная равна плюс бесконечности

1) Если производная равна плюс бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку положителен: , и стремится к при . Здесь подразумевается, что вторая точка графика , через которую проходит секущая, расположена достаточно близко к .

Производная равна минус бесконечности

2) Если производная равна минус бесконечности: , то угол между осью абсцисс и любой секущей, проходящей через точку отрицателен: , и стремится к при .

Производная равна бесконечности без определенного знака

3) Если производная равна бесконечности без определенного знака: , то углы наклона секущих, проходящих через вторую точку слева и справа от , имеют разные знаки.

.     Опубликовано:

Меню