Методы решения физико-математических задач

Определение производной функции в точке

Определения производной функции и лемма об односторонних производных
Определение производной функции в точке. Примеры вычисления производных, используя определение. Односторонние производные справа и слева. Лемма об односторонних производных.

Определение производной

Производная функции в точке
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x.
Производной f′(x) функции f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последний стремится к нулю:
(1)   .
Приращением аргумента
функции в точке x называется разность значений аргумента в некоторой точке и точке x: .
Приращением функции
в точке x называется разность значений функции в некоторой точке и точке x: .
Дифференцирование
– это процесс вычисления производной.

В определении (1), приращение аргумента является одной переменной, хотя ее обозначение состоит из двух букв. Обычно переменную принято обозначать одной буквой или буквой с одним или несколькими индексами. Но приращение в математическом анализе настолько часто встречается, что его обозначают с небольшим нарушением правил. Приращение функции также является одной переменной. В приведенном выше определении, является независимой переменной, а – зависимой, то есть функцией. Она зависит от двух переменных: x и : ; или от x и : . Но при вычислении предела (1), мы считаем, что x является фиксированным, заданным числом. Тогда , как и все выражение за знаком предела является функцией от одной переменной . Таким образом задача о нахождении производной сводится к задаче о вычислении предела от функции , зависящей от одной переменной ; или от функции , зависящей от одной переменной .

В выражении справа ⇑ мы сделали замену, и перешли от переменной к переменной . Тогда . При ,
.

После того, как мы нашли производную в заданной точке, то x уже можно считать не фиксированным числом, а переменной. То есть предел (1) ⇑ можно рассматривать как функцию от x. Еще раз подчеркнем, что выражение является функцией от двух переменных: x и . А выражение , полученное после вычисления предела, зависит только от одной переменной x.

Примеры вычисления производной, используя определение

Все примеры Здесь и далее мы приводим подробные решения примеров, в которых нужно вычислить производную функции , используя определение (1) ⇑:
  решение ⇓ ;    ⇓ ;    ⇓ .

Пример

Все примеры ⇑ Найти производную функции , используя определение производной.

Решение

Функция определена для всех x. Поэтому она определена в любой окрестности любой точки x. Используем определение (1) ⇑. Считаем, что x – фиксированное число, то есть что его значение задано. Найдем приращение функции в точке x:

.
Находим отношение приращения функции к приращению ее аргумента:
.
Находим предел функции , зависящей от переменной . При этом считаем, что x является фиксированным, заданным числом:
.

Итак, мы нашли производную:
.
Поскольку вычисленный нами предел существует, и является конечным числом для всех x, то функция имеет производную для всех значений аргумента x.

Ответ

.

Обозначение производной

Обозначение Лагранжа

Наиболее популярным является обозначение Лагранжа. Производную функции обозначают как и саму функцию, добавляя штрих после ее характеристики: . Если функция задана алгебраическим выражением, то это выражение заключают в скобки, и ставят знак штриха справа за закрывающей скобкой: . При этом производная также является функцией от той же переменной x, что и . Правда область определения производной может не совпадать с областью определения функции, а является ее подмножеством.

Напомним, что в обозначении функции фигурируют три символа: независимая переменная, характеристика функции и зависимая переменная (см. «Определение функции»). Так, в выражении
(2)   ,
x является независимой переменной, или аргументом функции; f   – характеристикой функции; y   – зависимой переменной, или значением функции. Обозначение зависимой переменной может совпадать или не совпадать с обозначением характеристики.

Когда мы имеем дело с производной, то независимую переменную обозначают так же, как и независимую переменную функции. В нашем случае это x.

Характеристику производной обозначают тем же символом, что и характеристику функции, добавляя штрих: . Если функция зависит от нескольких переменных, например
(3)   ,
но все кроме одной считают постоянными, то к характеристике производной добавляют нижний индекс, обозначающий ту переменную, по которой, в данной задаче, вычисляют производную. При этом знак штриха может быть опущен. Например, следующие два обозначения эквивалентны: . Здесь подразумевается, что переменные и мы считаем постоянными. Тогда, в данный момент, является функцией от одной переменной . Подобные производные функций от нескольких переменных называются частными производными. Детально они будут рассмотрены позже.

Зависимую переменную производной обозначают аналогично характеристике, добавляя штрих к обозначению зависимой переменной функции. Так, для примера (2), это будет : . Если функция зависит от нескольких переменных, то к обозначению добавляют нижний индекс с обозначением переменной, по которой выполняется дифференцирование. При этом знак штриха также может быть опущен. Например, для функции (3), зависимая переменная производной по переменной может обозначаться как , или : .

Нижний индекс добавляют и при вычислениях, связанными со сложными функциями. Пусть, например, функцию можно представить как сложную: , составленную из двух функций: и . При этом множества значений функций и совпадают. Поэтому их удобно обозначить одной переменной y. Тогда производную от y, выраженную через переменную x, обозначают как : . А производную от y, выраженную через переменную , обозначают как : .

Обозначение производной по времени в физике

В механике и физике, производную по времени обозначают не штрихом, а точкой над переменной. Обычно время обозначают буквой t. Тогда
.

Обозначение Лейбница

В способе Лейбница, зависимую переменную обозначают в форме дифференциалов:
.
Этот способ удобен, поскольку указывает, по какой переменной ведется дифференцирование. Такой способ применяется только для функций от одной переменной. Для функций от многих переменных используют обозначение частной производной: .

Иногда в форме дифференциалов обозначают характеристику производной, добавляя справа аргумент:
.
Однако этот способ не очень удобен.

Обозначение Коши

Также, для обозначения производной, используют обозначение Коши:
.
Но мы не будем им пользоваться.

Существование производной

Рассмотрим предел, который используется при вычислении производной, при заданном значении x:
(4)   .
Здесь могут возникнуть три случая: 1) в точке x существует конечный предел (4); 2) существует бесконечный предел или ; 3) предела (4) не существует.

1) Если существует конечный предел (4), то говорят, что функция имеет производную в точке x.

2) Если в некоторой точке x существует бесконечный предел (4), то производной в этой точке не существует. Поскольку в определении (1) ⇑ указано, что производной называется конечный предел. Однако при этом говорят, что функция f имеет в точке x бесконечную производную, равную или .

3) Если предела (4) не существует, то функция не имеет производной в точке x.

Пример бесконечной производной +∞

Все примеры ⇑ Найдем производную функции .

Решение

Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности
Производная функции в точке x = 0 равна плюс бесконечности.

Функция определена для всех x. Найдем отношение приращения функции к приращению ее аргумента в точке x:
.
Применим формулу . Тогда
;
(5)   .
Считаем, что x является фиксированным числом. Тогда отношение является функцией от одной переменной : . При она определена для всех . При она определена для всех .

Пусть . Тогда:
.
Пусть . Подставим в (5) :
.
Поскольку , то
.

Ответ

Таким образом мы нашли, что функция имеет производную для всех . При функция не имеет производной, она равна .

Производные справа и слева

Определение

Правая (левая) производная функции f в точке x
Пусть функция f(x) определена в правой окрестности точки x. Тогда правой производной функции f в точке x называется правый предел
.
Соответственно, если функция определена в левой окрестности x, то левой производной функции f в точке x называется левый предел
.
Правую (левую) производную также называют производной слева (справа) в точке x, или правосторонней (левосторонней) производной в точке x.

Лемма об односторонних производных

Функция имеет в точке x производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производные справа и слева, и они равны: . При этом
.

Доказательство

Для доказательства применим теорему об односторонних пределах.

Пусть существует производная функции в точке x. Это означает, что она определена в некоторой окрестности точки x, и существует конечный предел функции при :
.
Но тогда существуют правая и левая окрестности точки x, на которых определена. По теореме об односторонних пределах, существуют равные правый и левый пределы:
.
Отсюда следует, что в точке x существуют односторонние производные
.

Пусть теперь, в точке x, существуют равные односторонние производные:
.
Это означает, что существуют правая и левая окрестности точки x, в которой определена . И существуют односторонние равные пределы:
.
Отсюда следует, что существует двусторонняя окрестность точки x, на которой определена . И по теореме об односторонних пределах, существует двусторонний предел:
.
Это означает, что в точке x существует производная
.

Лемма доказана.

Следствие

Если функция имеет в точке x не равные односторонние производные, то она не имеет производной в этой точке.

Действительно, допустим противное. Пусть функция имеет в точке x не равные односторонние производные, но при этом имеет производную в этой точке. Тогда, согласно лемме об односторонних производных, она имеет в этой точке равные производные слева и справа, что противоречит предположению.

Пример

Все примеры ⇑ В качестве примера, найдем производную функции .

Решение

Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0
Функция y = |x| не имеет производной в точке x = 0.

Функция определена для всех значений аргумента x. Поэтому она определена в любой окрестности произвольной точки x.

1. Пусть . Тогда ,
.

2. Пусть . Тогда ,

.

3. Рассмотрим точку . В ней
.
Найдем производную справа в точке . При этом ,
.
Теперь найдем производную слева в точке . В этом случае ,
.

Итак, мы нашли, что односторонние производные в точке существуют, но не равны:
.
Согласно следствию леммы об односторонних производных, производной функции в точке не существует.

Ответ

;
;
.
В точке производная не существует.

Использованная литература:
Г.Е. Иванов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2018.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

.     Опубликовано:

Меню