Вывод производных высших порядков арксинуса (arcsin x) и арккосинуса (arccos x)
Основные результаты
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
(1) .
Нам известна производная первого порядка этой функции (см. Вывод производных арксинуса и арккосинуса):
(2) .
Непосредственным дифференцированием, или используя приведенные ниже формулы, можно найти производные арксинуса от второго до пятого порядков:
; ; ; .
В общем случае, производная арксинуса произвольного, n-го порядка, выражается через многочлен и корень:
(3) ,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
(4) ;
(5) .
Здесь .
Отсюда можно определить производную арксинуса в нуле, то есть при . Для нечетных n = 2m + 1,
.
Для четных n = 2m, производная равна нулю:
.
Производная n-го порядка арксинуса удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(6) .
Это уравнение связывает производные трех порядков. При n = 0 получаем уравнение, связывающее производные первого и второго порядков:
(7) .
Многочлены связаны следующими соотношениями:
(8) ;
(9) ;
(10) .
Производные высших порядков арккосинуса (arccos x)
Зная значения производных арксинуса, легко получить значения производных арккосинуса. Для этого нужно воспользоваться связью между этими функциями:
.
Тогда производная n-го порядка арккосинуса равна производной n-го порядка арксинуса, взятой с обратным знаком:
.
Вывод формул
Ниже мы выведем формулы (4–5), которые определяют значения коэффициентов многочленов . Однако, чтобы сделать это, нам нужно сначала вывести формулы (6–10), устанавливающие связь между производными арксинуса и соотношения между многочленами.
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса высших порядков
Пусть
(1) .
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
(2) .
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Учитывая (2), запишем производную второго порядка в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
(7) .
Дифференцируем это уравнение n раз, применяя формулу Лейбница. В результате получаем формулу (6), связывающую производные трех высших порядков:
;
;
;
(6) .
Выражение производной n-го порядка через многочлен и корень
Легко убедиться, что производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
(3) ,
где – многочлен степени .
Связь между многочленами различных степеней
Выведем формулу (9), устанавливающую связь между многочленами различных степеней. Для этого подставим (3) в (6):
.
Умножив на , получим (9):
(9) .
Теперь выведем формулу (8), связывающую многочлены двух соседних степеней. Запишем (3):
(3) .
Дифференцируем по :
;
.
Поскольку , то
(8) .
Дифференциальное уравнение для многочленов
Теперь покажем, что многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению (10). Для этого мы используем формулы (8) и (9) и получим уравнение, содержащее только многочлен и его производные одной степени.
Дифференцируем (8) по :
;
(11) .
Заменим в (8) на :
.
Подставим сюда (11) и (8):
.
Итак,
(12) .
Подставим (12) и (8) в (9):
(9) ;
;
.
Преобразуем коэффициент при :
.
Подставляем в предыдущее уравнение и сокращаем на :
(10) .
Значения производных арксинуса высших порядков в нуле
Здесь мы покажем, что для нечетных n = 2m + 1, производная арксинуса в нуле, то есть при , имеет значение
.
Для четных n = 2m, она равна нулю:
.
Поскольку
,
то при ,
.
То есть n-я производная арккосинуса в нуле равна значению многочлена в нуле. Таким образом, нам нужно найти значение многочлена при .
Выпишем уравнение (9) явно указывая, что есть функция от x:
(9) .
Подставим :
, или
(13) .
Из этого уравнения легко получить значения многочленов в нуле.
Рассмотрим нечетные n. Для них n можно записать в виде:
,
где – целое неотрицательное число. Воспользуемся формулой (3):
(3) .
Производная первого порядка нам известна:
(2) .
Отсюда . Это постоянная. Она имеет равные значения для всех x. Соответственно, при ,
(14) .
Подставим в (13) и используем (14):
.
Аналогично, подставляем и :
;
;
.
Теперь легко записать значение многочлена произвольной нечетной степени в нуле:
(15) ; .
Рассмотрим четные n. Выше мы нашли производную второго порядка:
.
Отсюда . Тогда . Используя формулу (13) получаем, что все четные производные в нуле равны нулю:
(16) .
Вывод значений коэффициентов многочленов
Теперь мы можем найти значения коэффициентов многочленов. Запишем разложение многочлена по степеням x в общем виде:
(17) .
Здесь – коэффициенты, которые нам нужно найти.
Дифференцируя (17), находим первую и вторую производные:
(18) .
.
Подставляем их в (10) и выполняем преобразования:
(10) ;
;
.
Преобразуем три последних члена:
.
В первом члене заменим . Получаем:
.
Отсюда получаем связь между коэффициентами при различных степенях x:
(19) .
Зная значения первых коэффициентов и , по этой формуле можно определить значения остальных.
Нечетные n
Пусть n нечетно, .
Найдем значение первого коэффициента. В (15) мы нашли значение многочлена в нуле:
.
Но поскольку , то
.
Обозначим это значение буквой A:
;
.
Найдем значение второго коэффициента. Для этого используем формулу производной многочлена:
(18) .
Далее подставим сюда :
.
То есть значение второго коэффициента равно значению производной многочлена в нуле. Для ее нахождения, подставим в (8) значение :
.
Поскольку n нечетно, то четно. Тогда из (16) следует, что . Поэтому . И вместе с этим
.
Тогда из (19) следует, что поскольку , то все коэффициенты нечетных степеней x равны нулю: . Отличны от нуля только коэффициенты четных степеней, для которых r четно.
Подставим в (19) :
(19) .
;
;
;
(20) .
По формуле (20) найдем значения нескольких первых коэффициентов, учитывая, что коэффициент нам известен:
;
;
.
Отсюда не трудно установить общий вид коэффициентов:
.
Тогда многочлен имеет вид:
.
Четные n
Теперь рассмотрим четные n, . Мы уже нашли, что для четных n, . Поэтому
.
Найдем значение второго коэффициента. Для этого подставим в (8) значение :
.
Отсюда
.
Рассмотрим (19):
(19) .
Поскольку , то все коэффициенты четных степеней x равны нулю: . Отличны от нуля только коэффициенты нечетных степеней, для которых r нечетно. Тогда неравенства для можно записать в виде:
.
Подставим в (19) :
;
;
;
(21) .
По этой формуле найдем значения нескольких первых коэффициентов:
;
;
.
Устанавливаем общий вид коэффициентов:
.
Тогда многочлен имеет вид:
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: