Уравнения Гинзбурга - Ландау (ГЛ)

Уравнения Гинзбурга Ландау и их простейшие исследования. Безразмерные уравнения ГЛ. Вывод уравнения вариацией функционала. Калибровочная инвариантность.

Сводные данные (постоянные и уравнения)

Примечание.
Под полем здесь и далее подразумевается истинное микроскопическое магнитное поле.
Носителем зарядов считаются куперовские пары – то есть два электрона. Заряд пары равен , масса , где – заряд электрона; – эффективная масса куперовской пары;

Параметры
– квант потока;
– глубина проникновения магнитного поля ();
– длина когерентности ();
– параметр Гинзбурга – Ландау;
– концентрация сверхпроводящих электронов;
– критическое магнитное поле ().

Уравнения Гинзбурга – Ландау
(1) .
(3)   ;
(4)   .
.
(5)   .
Граничные условия.
(6)   .

Уравнения с безразмерной волновой функцией
– безразмерная волновая функция;
.
(16)   – первое уравнение ГЛ;
(22)   – второе уравнение ГЛ;
(23)   – граничные условия;
(24)   – плотность тока в магнитном поле ().

Безразмерные уравнения
.
(1) .
(25)   .
(26)   ;
(27)   ;
.

Чтобы убрать квадратный корень, можно еще сделать замену . Тогда единицей магнитного поля станет .
.
.
;
.

Теория Гинзбурга – Ландау

В.Л. Гинзбург и Л.Д. Ландау применили теорию фазовых переходов второго рода к сверхпроводимости, согласно которой свободную энергию можно разложить вблизи точки перехода по степеням параметра порядка. В качестве такого параметра они использовали волновую функцию сверхпроводящих электронов . Ее нормируют на плотность куперовских пар . По предположению плотность свободной энергии для сверхпроводника в магнитном поле определяется выражением:
(1)   .
Здесь – внешнее магнитное поле, в котором находится сверхпроводник; – микроскопическое поле в данной точке сверхпроводника; – коэффициент, зависящий от температуры по закону ; – некоторые константы, связанные со сверхпроводящими свойствами; – энергия Гиббса в нормальном состоянии; – заряд куперовской пары; – ее эффективная масса.
При заданном внешнем поле и токах сверхпроводящих электронов, минимумом обладает термодинамический потенциал с плотностью магнитной энергией . Но если задать только внешнее магнитное поле , как в нашем случае, то минимален потенциал с .

Интегрируя (1) по объему, получим полную свободную энергию Гиббса сверхпроводника в виде функционала, который называют функционалом Гинзбурга – Ландау:
(2)  
.

Варьируя в (2) волновую функцию и потенциал , можно получить уравнения Гинзбурга – Ландау (см. задачу 3.1):
(3)   ;
(4)   .
Уравнение (4) представляет собой хорошо известное уравнение Максвелла

с плотностью тока в магнитном поле
(5)   .

Граничные условия зависят от рассматриваемой задачи.
На границе раздела, за которой сверхпроводящее состояние невозможно, граничное условие для волновой функции следующее:
(6)   ,
где – единичный вектор, нормальный к поверхности сверхпроводника. Микроскопический анализ показывает, что такие условия выполняются лишь для контакта сверхпроводник – диэлектрик. Для контакта сверхпроводник – нормальный металл более точные граничные условия имеют вид
(7)   .
Граничные условия для векторного потенциала заключаются в том, что вектор магнитного поля непрерывен на границе раздела:
(8)   .

Для бесконечно протяженных сверхпроводников, граничные условия получаются из свойств системы на бесконечном удалении от границы фазового перехода:
обращение волновой функции в нуль в нормальной фазе
и обращение в нуль сверхпроводящего тока электронов в сверхпроводящей.

При отсутствии магнитного поля для пространственно однородных задач уравнение (3) примет вид
,
откуда
(9)   .
И мы получаем важное соотношение, позволяющее выразить равновесную концентрацию сверхпроводящих электронов через параметры и :
(10)   .
Когда температура равна критической , плотность сверхпроводящих электронов равна нулю . Это означает, что при . Параметр можно разложить в ряд по степеням . Оставляя только линейный член, имеем:
(11)   .
Параметр вблизи остается постоянным. Можно показать также, что . Действительно, подставляя в плотность энергии Гиббса

равновесное значение плотности куперовских пар , имеем:
(12)   .
Поскольку для перехода в сверхпроводящее состояние должно быть , то заключаем, что , а используя выражение (10), видим, что , так как плотность сверхпроводящих электронов не отрицательна.

Теперь рассмотрим сверхпроводник, находящийся во внешнем магнитном поле . Слабое поле не проникает вглубь сверхпроводника, поэтому в нем , и плотность энергии определяется из (12). Будем увеличивать поле, пока оно не достигнет критического значения , при котором произойдет переход в нормальное состояние. В нем , и из (1) получаем:
.
Сравнивая с (12), получаем важное равенство, связывающее критическое магнитное поле с параметрами и :
(13)   .

В слабом магнитном поле, полагаем в уравнении (3) . Тогда оно имеет решение (9):
.
Подставляя в (4), приходим к уравнению Лондонов:
;

с глубиной проникновения магнитного поля
(14)   .

Перейдем к безразмерной функции , выполняя линейную замену
(15)   :
(3)   ;
;
(16)   .
Здесь – квант потока.
Параметр

имеет размерность длины и носит название длины когерентности. Он определяет характерные расстояния изменения волновой функции в отсутствии магнитного поля (тогда можно положить ).

С помощью и вводят очень важную величину – параметр Гинзбурга – Ландау:
(17)   .

Зависимость параметров от температуры

Согласно феноменологической теории фазовых переходов второго рода, разработанной Л.Д. Ландау, параметры a и b можно разложить в ряд по степеням . Отбрасывая не существенные члены, полагают, что параметр a линейно зависит от температуры, а параметр b является постоянной:
(18)     при   ,
где – константа.

Эту зависимость удобно представить так:
(19)   ,
где – некоторый коэффициент, который, в общем случае, не равен параметру при нулевой температуре.

Тогда, используя (19), получаем зависимости от температуры других параметров теории ГЛ при :
;
;
;
;
;
;
.
Здесь – коэффициенты, которые в общем случае не равны значениям при .

Чтобы иметь возможность определять значения параметров во всем интервале температур , применяют следующие эмпирические зависимости:
(20)   ;
(21)   .

Величины и для некоторых металлов приведены в таблице 1.1; величины – в приводимой ниже таблице 3.1.

Безразмерные уравнения ГЛ

В уравнения Гинзбурга – Ландау входит довольно много постоянных. Однако их число можно сократить, если сделать некоторые подстановки.

Для начала введем безразмерную волновую функцию :
.
Тогда уравнение (3), как показано выше, примет вид
(16)   .
Уравнение (4), граничные условия (6) и плотность тока (5) преобразуются так.
(4)   ;
;
;
(22)   .
(6) ;
;
(23)   .
(5)   ;
;
(24)   .

За единицу длины возьмем ; за единицу магнитного поля . Перейдем к безразмерным величинам, которые будем обозначать подчеркиванием символов. Делаем подстановки:
.
Преобразуем (16), (22), (23) и (24).
(16)   ;
;
(25)   .
(22)   ;
;
;
(26)   ;
(23)   ;
;
(27)   .

Задачи с решениями

Задача 3.1. Вывод уравнения ГЛ

Получить уравнение (3) с граничными условиями, варьируя комплексно-сопряженную волновую функцию в выражении для свободной энергии Гиббса.

Решение

Свободная энергия определяется функционалом:
(2)  

.
В равновесном состоянии это выражение должно иметь минимальное значение. Заменим на , где – достаточно малая произвольная функция. В экстремуме выражение для свободной энергии, при такой замене, не должно содержать членов, линейных по . Найдем приращение функции .





.
Отсюда, опуская члены квадратичные по , имеем:

.
Третье слагаемое интегрируем по частям:

.
Преобразуем объемный интеграл в первом слагаемом в поверхностный. Согласно теореме Гаусса, получим:




.
Поскольку произвольно, то должны выполняться равенства:
;
.

Задача 3.2. Калибровочная инвариантность

Показать, что при калибровочном преобразовании волновая функция умножается на фазовый множитель
.

Решение

Так как уравнения ГЛ получаются варьированием интеграла (2), то достаточно показать инвариантность этого выражения относительно указанной замены. Для первого и второго слагаемого это очевидно, поскольку
.
Для четвертого и пятого слагаемых это также легко видеть
.
Для третьего члена
.
Далее


.
Инвариантность доказана.

Задача 3.3

Свинцовый цилиндр находится при температуре 4,2 К в слабом однородном магнитном поле, параллельном его оси. Поле на поверхности цилиндра  э. Найти плотность магнитной энергии в свинце на расстоянии  Å от поверхности цилиндра (диаметр цилиндра много больше глубины проникновения магнитного поля).

Решение

По формуле (20), описывающей зависимость критического магнитного поля от температуры, используя значения и , находим величину критического магнитного поля при заданной температуре:
 э.
Считаем заданное поле  э слабым. Тогда его влиянием на волновую функцию можно пренебречь, полагая ее значение постоянной величиной. Для безразмерной волновой функции . Тогда второе уравнение ГЛ (22) приводит ко второму уравнению Лондонов:
.
То есть величина магнитного поля зависит от расстояния до поверхности сверхпроводника по экспоненциальному закону:
.

Плотность магнитной энергии
.
Зависимость глубины проникновения от температуры определяется формулой (21). Значение берем из таблицы 3.1.
 Å
Для плотности энергии получаем
 эрг/см³.

Задача 3.4

Критическая температура свинца равна 7,18 К. Во сколько раз глубина проникновения магнитного поля при температуре  К больше, чем глубина проникновения при  К? Оценить плотность сверхпроводящих электронов при температуре  К.

Решение

Во всем диапазоне температур хорошо аппроксимируется формулой (21), откуда получим
.

Используя результаты теории ГЛ, получим плотность сверхпроводящих электронов при температуре 7,10 К:
;
;
 см^-3.

Использованная литература:
О.Г. Одинцов, Е.А. Пушкарев, Методические указания к решению задач по физике сверхпроводников, Харьков, ХГУ, 1989.
Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния, Москва, Физматлит, 2002.

Авторы: Олег Одинцов, Евгений Пушкарев.     Опубликовано: 12-07-2023