Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Векторный способ задания движения точки

Связь векторного способа задания движения точки с координатным. Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали при векторном способе задания движения точки.

Положение точки однозначно определяется заданием ее радиус-вектора . При движении точки, ее радиус-вектор изменяется со временем. При векторном способе задания движения считается, что задан закон изменения радиус-вектора от времени . Векторный способ задания движения применяется для описания движения в общем виде, используя векторные формулы.

Например, для точки, движущейся с постоянным ускорением , радиус-вектор определяется одной векторной формулой:
,
где – постоянные векторы, не зависящие от времени. Применяя формулы, мы можем найти кинематические величины в векторном виде, не зависимо от выбранной системы координат.

При координатном способе задания движения, мы выбираем систему координат, и в ней задаем зависимости координат точки от времени . Таким образом, координатный способ привязан к выбранной системе координат, а векторный способ не зависит от системы координат.

Связь векторного способа задания движения с координатным осуществляется по формуле:
,
где – единичные векторы (орты) в направлении осей выбранной системы координат.

Основные формулы при векторном способе задания движения

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы приводим основные результаты этой теории в векторном виде.

Итак, нам задана зависимость радиус-вектора материальной точки M от времени :
.

Дифференцируя радиус-вектор по времени, мы находим вектор скорости точки:
.
Модуль вектора скорости:
,
где в круглых скобках обозначено скалярное произведение векторов.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.

Дифференцируя вектор скорости по времени, находим вектор ускорения точки:
.
Модуль вектора ускорения:
.

Тангенциальное ускорение – это проекция полного ускорения на направление скорости:
.
С другой стороны, тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости:
.
Оно может быть как положительным, так и отрицательным. При положительном , абсолютное значение (модуль) скорости возрастает. При отрицательном , абсолютное значение скорости убывает.
Вектор тангенциального ускорения:
.

Вектор нормального ускорения:
.
;   .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.
Нормальное ускорение – это проекция полного ускорения на направление главной нормали траектории, которая перпендикулярна скорости (касательной к траектории) и направлена к центру кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда положительно.
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

Единичный вектор в направлении бинормали:
.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru