Методы решения физико-математических задач

Определение понятия материальной точки

Положение материальной точки полностью определяется тремя координатами
Понятие и определение материальной точки как самого простого тела в механике. Рассмотрена применимость этого понятия к телам с конечными размерами в различных задачах. Примеры тел, которые можно считать материальными точками.

Определение

Материальная точка
– это материальное тело, обладающее массой, но размерами которого, в данных условиях, можно пренебречь.
Положение материальной точки полностью определяется тремя координатами

С математической точки зрения, материальная точка – это точка в пространстве. Ее положение определяется тремя координатами x, y, z в заранее выбранной прямоугольной системе координат OXYZ. Если из начала O этой системы провести направленный отрезок в точку , то получим вектор, который называется радиус-вектором. Зависимость координат материальной точки от времени позволяет определить ее скорость и ускорение.

То есть материальная точка полностью определяется ее массой m и тремя координатами , задающими ее положение в пространстве. Она не имеет ни протяженности, ни направления, ни границ.

Материальная точка – это самый простой объект в механике. Все сложные тела и системы пытаются свести к более простым, и в конечном случае, – к материальным точкам. Так, при доказательстве законов и свойств используют тот факт, что сложные системы состоят из более простых тел, а тела состоят из материальных точек. Это подтверждается экспериментальными фактами, согласно которым любое тело состоит из более мелких составляющих – молекул. В свою очередь молекулы состоят из атомов, а атомы – из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Электроны являются неделимыми элементарными частицами. Ядра состоят из нуклонов – протонов и нейтронов.

Применимость понятия материальной точки в различных задачах

Понятие материальной точки является моделью или упрощением. Как правило, оно применимо к такому телу, которое взаимодействует с другими телами на расстоянии, намного превышающем его размеры. В одних задачах тело можно считать материальной точкой. В других – то же тело считать материальной точкой нельзя.

Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца, Землю и Солнце можно считать материальными точками, поскольку расстояние от Земли до Солнца намного превышает их размеры. Но в задачах, связанных с выведением спутников на орбиту, пренебрегать размерами Земли и строением ее атмосферы, разумеется, уже нельзя.

Поскольку материальная точка описывается только тремя координатами, то считается, что она не может вращаться, она может совершать только поступательное движение. Поэтому понятие материальной точки применимо только к тем телам, которые, в данном процессе, не изменяют своего вращательного движения, или если влияние вращательного движения пренебрежимо мало.

Так, в приведенном выше примере, силы гравитационного притяжения между небесными телами приводят только к изменению их взаимного расстояния, и почти не влияют на вращения тел.

Тот же подход применим и к микроскопическим объектам – молекулам и атомам. Пока они находятся на расстояниях, намного превышающих их собственные размеры, их можно считать материальными точками. Но как только они сближаются на расстояния, сравнимые с их размерами, мы должны учитывать их внутреннюю структуру. Так, в результате столкновений, часть энергии может быть передана на вращение и колебание.

В газообразных средах, среднее расстояние между молекулами велико по сравнению с их размерами. Если бы оно было велико во все моменты времени, то их можно было бы считать материальными точками. Но во время столкновений происходит сближение молекул на расстояния, сравнимые с их размерами. При этом происходит изменение вращательного и колебательного движений. Поэтому понятие материальной точки к ним уже неприменимо. Это отражается на такой макроскопической величине, как теплоемкость, которая зависит от строения молекул.

В различных механических системах, некоторые тела можно считать материальными точками, даже если они совершают вращательное движение, но если их размеры пренебрежимо малы по сравнению с размерами других частей системы. Это связано с тем, что кинетическая энергия вращательного движения твердого тела пропорциональна квадрату его размера. Поэтому, если размеры одного тела системы намного меньше другого тела, и если их угловые скорости вращения примерно одинаковы, то кинетическая энергия вращательного движения тела с малыми размерами будет намного меньше кинетической энергии вращения остальных тел. Поэтому влияние вращения малого тела на движение всей системы будет пренебрежимо мало. То есть, при определенных условиях, даже вращающиеся тела, но с малыми размерами, можно считать материальными точками.

Примеры материальных точек в механизмах

Грузик на плоскости

Грузик на плоской поверхности.
Пусть грузик A, являясь частью механической системы, может перемещаться по плоской поверхности. Если, при движении системы, не происходит вращения грузика, то его можно считать материальной точкой.

Грузик на невесомом стержне

Подвешенный невесомый стержень с небольшим грузиком на конце.
Рассмотрим невесомый стержень AB, подвешенный за один конец A. Пусть к другому его концу прикреплен небольшой грузик D. Если размеры грузика малы по сравнению с длиной стержня l, то его можно считать материальной точкой. Чтобы это показать, сравним кинетические энергии поступательного и вращательного движения грузика. Пусть грузик имеет массу , и движется со скоростью v. Тогда кинетическая энергия его поступательного движения:
.
Угловая скорость вращения стержня относительно точки подвеса:
.
Пусть d размер грузика. Оценим кинетическую энергию его вращательного движения. Поскольку нам нужен приближенный результат, то предположим, что грузик является кольцом радиуса , и его масса распределена по внешнему краю. Тогда, при вращательном движении с угловой скоростью , точки кольца движутся со скоростью . Кинематическая энергия вращательного движения грузика:
;
.
То есть мы видим, что, по порядку величины, кинетическая энергия вращательного движения в раз меньше кинетической энергии поступательного движения:
.
Поэтому если размер грузика пренебрежимо мал по сравнению с размером стержня, , то и кинетическая энергия вращательного движения грузика пренебрежимо мала с его кинетической энергией поступательного движения: . Таким образом, вращение грузика дает пренебрежимо малый вклад в динамику системы, и им можно пренебречь. То есть, при данных условиях, грузик можно считать материальной точкой.

Определение понятия материального тела

Материальное тело
– это некоторое количество вещества, которое заполняет какой-нибудь объем в пространстве и имеет границу.

Заметим, что под это определение подходит и твердое тело, и жидкость, и газ, заключенный в определенный объем.

.     Опубликовано:

Меню