Теоретическая механика

Здесь собраны основные примеры задач с решениями по теоретической механике. Рядом с условием задачи приводится ссылка на страницу с ее подробным решением и ответом. Задачи охватывают следующие разделы технической и теоретической механики: статика, кинематика, динамика материальной точки и системы тел.

Все понятия и законы статики в одной странице, включая определения, аксиомы, теоремы и свойства. Материал делится на следующие разделы: понятие силы, аксиомы статики, системы сил, момент силы, условия равновесия, связи и их реакции, силы трения, центр тяжести тела, приведение системы сил к простейшему виду.

Изложены основные понятия и определения статики – раздела теоретической механики. Рассмотрена основная задача статики и область ее применения. Даны определения, связанные с системами тел, кинематическим состоянием тела и действующими силами.

Дано определение силы, действующей на материальную точку. Показано, что в теоретической механике, в задачах на определение движения твердых тел, силы являются скользящими векторами. Поэтому системы сил можно преобразовывать в более простые эквивалентные системы. Показано, что получить эквивалентную систему, можно решая задачу статики, в которой к старой системе добавляется новая система сил.

Изложены аксиомы статики. Пояснена их роль в теоретической механике. Приводится пример графического решения задачи, применяя только аксиомы статики.

Определения момента силы относительно точки и оси. Определение плеча силы относительно точки. Формулировки и доказательства свойств момента силы. Выражение абсолютного значения момента в виде произведения плеча силы на модуль силы.

Обсуждается связь между понятиями "равновесие твердого тела" и "равновесие системы сил". Приводятся три формы условий равновесия твердого тела, как для пространственной системы сил, так и для плоской. Дано доказательство всех форм условий равновесия.

Формулировка принципа освобождаемости от связей, который часто называется аксиомой связей. Показано, что аксиома связей является следствием основных законов механики. Даны определения активных и пассивных сил. Рассмотрено применение принципа освобождаемости от связей для решения механических задач, в которых тела соединены друг с другом и с неподвижным основанием. Примеры приведения таких задач к задаче со свободными телами.

Приводятся основные виды связей и их реакции, применяемые в технической механике при проектировании машин и механизмов. Даны их условные обозначения и направления сил реакций.

Рассмотрены методы определения реакций опор твердого тела для статически определимых схем закреплений тел в опорах.

Приводится решение задачи, в которой требуемая реакция опоры твердого тела определяется из одного уравнения, без определения остальных сил реакций. Для трех вариантов закрепления тела выбирается тот, при котором требуемая реакция имеет наименьшее значение. Для этого варианта определяются реакции остальных опор.

Рассмотрен порядок решения задач на определение реакций опор балок. Приводится пример решения задачи и проверка правильности определения реакций. Приводится решение задачи вторым способом.

Рассмотрен метод решения задач на определение реакций опор составных конструкций для статически определимых систем. Приводится пример решения задачи, в которой требуется определить реакции в опорах и в точке соединения частей составной конструкции.

Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.

Все определения, понятия, законы и теоремы кинематики в одной странице. Материал делится на четыре основных раздела: кинематика точки, кинематика твердого тела, кинематика сложного движения точки и кинематика сложного движения твердого тела.

Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали по заданным зависимостям координат от времени. Пример решения задачи, в которой по заданным уравнениям движения нужно определить скорость и ускорение точки. Также определяется радиус кривизны траектории, касательная, нормаль и бинормаль.

Связь векторного способа задания движения точки с координатным. Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали при векторном способе задания движения точки.

Определение естественного трехгранника Френе. Проекции скорости и ускорения точки на его оси. Пример определения ортов естественного трехгранника.

Естественный способ задания движения точки – определение и основные формулы. Пример решения задачи.

Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую. Доказательство теоремы. Пример решения задачи.

Формулы скорости (ускорения) точек твердого тела, выраженные через скорость (ускорение) полюса и угловую скорость (ускорение). Вывод этих формул из принципа, что расстояния между любыми точками тела, при его движении, остаются постоянными.

Приводятся основные законы и формулы, применяемые при решении задач на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси. Рассмотрен пример подробного решения задачи. В ней дан механизм, состоящий из колес, рейки и груза, соединенных нитями и зубчатой передачей. Требуется найти скорости и ускорения точек, принадлежащих звеньям этого механизма.

Рассмотрены методы определения скоростей и ускорений звеньев плоского многозвенного механизма. При этом используется понятие мгновенного центра скоростей, теоремы о проекциях скоростей, о скоростях точек и об ускорениях точек плоской фигуры. Подробно разобран пример решения задачи на тему 'кинематический анализ многозвенного механизма'.

Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Рассмотрен пример решения задачи со сложным движением точки. Точка движется по прямой вдоль пластины. Пластина вращается вокруг неподвижной оси. Определяется абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки.

Все понятия, определения, законы и теоремы динамики материальной точки в одной странице. Материал делится на следующие разделы: основные законы динамики точки (законы Ньютона), виды сил, дифференциальные уравнения движения, колебания, общие теоремы динамики точки, силовые поля и потенциальная энергия.

Понятие и определение материальной точки как самого простого тела в механике. Рассмотрена применимость этого понятия к телам с конечными размерами в различных задачах. Примеры тел, которые можно считать материальными точками.

Даны методы интегрирования дифференциальных уравнений прямолинейного движения материальной точки. Рассмотрены случаи, когда равнодействующая сила зависит от времени, скорости и перемещения. При зависимости силы от скорости, даны два способа решения. В случае зависимости силы от перемещения, интегрирование приводит к закону сохранения механической энергии. Рассмотрено приложение этих методов к движению в пространстве.

Рассмотрен метод интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил. Приводится пример решения задачи на движение материальной точки, на которую действуют только постоянные силы.

Рассмотрено решение задачи, в которой материальная точка движется по изогнутой трубе с двумя прямолинейными участками. При этом, кроме силы тяжести и реакций стенок трубы, на первом участке, на точку действует постоянная сила, и сила сопротивления среды, зависящая от скорости; на втором участке – внешняя сила, изменяющаяся со временем.

Все понятия, определения, законы, теоремы и свойства динамики твердого тела и системы. Общие теоремы динамики системы. Теоремы о движении центра масс, об изменении количества движения, об изменении главного момента количества движения, об изменении кинетической энергии. Принципы Даламбера, и возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнения Лагранжа.

Дается определение понятия механических связей, и излагаются физические принципы их возникновения. Даны определения основных видов связей, применяемых в теоретической механике, и приводится их классификация. Рассмотрены примеры связей различных типов.

Приводятся формулы и законы, применяемые при решении задач с помощью теоремы о движении центра масс системы. Рассмотрены примеры решения задач. В одной задаче требуется найти смещение плиты с движущимися по ней грузами и реакцию направляющих. В другой задаче нужно найти вертикальную составляющую реакции в точке крепления кривошипно-шатунного механизма с ползуном.

Приводятся формулы и законы, применяемые при решении задач с помощью теоремы об изменении количества движения системы. Рассмотрен пример решения задачи, в которой требуется найти скорость плиты с движущимся по ней грузом. Дается краткое и подробное решение.

Рассмотрены примеры решения задач на применение теоремы об изменении кинетического момента системы. В одной из них требуется найти зависимость от времени угловой скорости плиты с движущимся по ней грузом. Во второй задаче требуется найти скорость груза, привязанного к веревке, перекинутой через блок, на втором конце которой поднимается человек. Даются краткие и подробные решения задач. Приводится инструкция о порядке решения задач на тему теоремы об изменении кинетического момента системы.

Пример решения задачи с применением теоремы об изменении кинетической энергии системы с твердыми телами, блоками, шкивами и пружиной.

Пример решения задачи с применением общего уравнения динамики (принцип Даламбера – Лагранжа) для системы с твердыми телами, грузами, шкивами и блоком, соединенных нитями.

Рассмотрены законы, применяемые при решении задач методом кинетостатики. Приводится пример решения задачи, используя принцип Даламбера на определение реакций опор вращающегося вала. Приводится решение задачи двумя способами – применяя принцип Даламбера к стержню как к системе материальных точек, и как к твердому телу.