Основные элементарные функции и их свойства

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция y =  f (x ) – это функция, которая удовлетворяет уравнению:
F(y, x ) = 0 , 
где F(y, x ) – многочлен от зависимой переменной y и независимой переменной x . Его можно записать в виде:
F(y, x ) = P₀ (x ) + P₁ (x )y +  P₂ (x )y²  + ⋅ ⋅ ⋅ + P_n (x )yⁿ  , 
где P₀ (x ),  P₁ (x ),  P₂ (x ), ...  P_n (x ) – многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция, которая также называется многочленом или полиномом, получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
P(x ) = a₀  + a₁ x +  a₂ x²  + ⋅ ⋅ ⋅ + a_n xⁿ  . 

Дробно-рациональная функция, или просто рациональная функция, получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию R(x ) можно привести к виду
R(x ) = P(x )Q(x )  , 
где P(x ) и Q(x ) – многочлены.

Иррациональная функция – это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n определяется как решение уравнения
yⁿ  = x . 
Он обозначается так:
y = ⁿ√ x   . 

Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z ^t .
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция:
y(x) = x ^p ,
где p - показатель степени. Она зависит от основания степени x .
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
x = y^1p  . 
При целом неотрицательном значении показателя p она является многочленом. При целом значении p – рациональной функцией. При рациональном значении p = mn  – иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция:
y(x) = a ^x ,
где a - основание степени. Она зависит от показателя степени x .
Обратная функция - логарифм по основанию a :
x = log _a y .

Экспонента, е в степени х:
y(x) = e ^x ,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
de^x dx = e^x  . 
Основанием степени экспоненты является число e :
e = lim_{n → ∞} ( 1 + 1n  )ⁿ  =  1 + 1 + 12! + 13! + 14! + ... ≈ 2,718281828459045... .
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e :
x = ln y ≡ log _e y .

Тригонометрические функции:
Синус:   y(x ) = sin x = e^ix  – e^– ix 2i  ; 
Косинус:   y(x ) = cos x = e^ix  + e^– ix 2  ; 
Тангенс:   y(x ) = tg x = sin xcos x  ; 
Котангенс:   y(x ) = ctg x = cos xsin x  ; 
Здесь i - мнимая единица, i ² = –1 .

Обратные тригонометрические функции:
Арксинус:   x = arcsin y ,   – 1 ≤ y ≤ 1,   – π2 ≤ x ≤ π2  ; 
Арккосинус:   x = arccos y ,   – 1 ≤ y ≤ 1,  0 ≤ x ≤ π ; 
Арктангенс:   x = arctg y ,   – ∞ < y < ∞,   – π2 < x < π2  ; 
Арккотангенс:   x = arcctg y ,   – ∞ < y < ∞,  0 < x < π . 

Гиперболические функции:
Гиперболический синус:   y(x ) = sh x = e^x  – e^– x 2  ; 
Гиперболический косинус:   y(x ) = ch x = e^x  + e^– x 2  ; 
Гиперболический тангенс:   y(x ) = th x = sh xch x  ; 
Гиперболический котангенс:   y(x ) = cth x = ch xsh x  . 

Обратные гиперболические функции:
Ареасинус:   x(y ) = arsh y = ln ( y + √ y²  + 1   ) ; 
Ареакосинус:   x(y ) = arch y = ln ( y + √ y²  – 1   ) ; 
Ареатангенс:   x(y ) = arth y = 12 ln ( 1 + y1 – y  ) ; 
Ареакотангенс:   x(y ) = arcth y = 12 ln ( y + 1y – 1  ) .