Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Представлены способы решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка методом характеристик. Даны примеры решения таких задач. В разобранных примерах получено общее решение заданного уравнения. На его основе найдено частное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям.

Линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X1, X2, ..., Xn – заданные функции переменных x1, x2, ..., xn.

Чтобы решить линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка:

необходимо решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнение характеристик):
:
Далее нужно представить решение в виде:
φ1(x1, x2, ..., xn, z ) = C1,
φ2(x1, x2, ..., xn, z ) = C2,
..................
φn-1(x1, x2, ..., xn, z ) = Cn-1,
где Ck – постоянные.
После чего сразу получаем общее решение:
,
где F – произвольная функция от n - 1 - го аргумента.

Если нужно получить частное решение с определенными граничными условиями, то необходимо подставить значения переменных из граничных условий в общее решение и найти вид функции F.

Линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка

Пусть X1, X2, ..., Xn+1 – заданные функции переменных x1, x2, ..., xn и z.

Чтобы решить линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка:
,
необходимо решить уравнение характеристик:
.
Решение этой системы нужно представить в виде:
φ1(x1, x2, ..., xn , z ) = C1,
φ2(x1, x2, ..., xn , z ) = C2,
..................
φn(x1, x2, ..., xn , z ) = Cn.
После чего сразу получаем общий интеграл в неявном виде:

где F – произвольная функция. Также общий интеграл можно представить в различных вариантах, например:
φ1 = F(φ2, φ3, ..., φn),
φ2 = F(φ1, φ3, ..., φn),
и т. д.

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Однородное уравнение

Условие задачи

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
.

Решение

Это линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Это уравнение характеристик содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье будет выполнено автоматически.

Выбираем и решаем первое уравнение:

Здесь переменные уже разделены, интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда

Подставим во второе уравнение:


Или:

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Умножим на x -1 и преобразуем:



Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение C1 = x y 2:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Общее решение исходного уравнения в частных производных имеет вид:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2). Найдем ее вид из граничного условия
.

Рассматриваем решение на границе.
Положим x y = –1:


Отсюда


На границе
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
F(φ1, φ2) = φ1 φ2.
Такой же вид она имеет и во всей области
Подставляя
;
,
получаем частное решение исходного уравнения в частных производных с заданным граничным условием:

Ответ

Общее решение:

где F - произвольная функция от двух аргументов F(φ1, φ2).

Частное решение:

Неоднородное уравнение

Условие задачи

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность x + y + z = 0, x2 + y2 + z2 = a2.

Решение

Это линейное неоднородное уравнение в частных производных первого порядка. Составляем уравнение характеристик:

Оно содержит три уравнения:
;
;
.
Нам нужно выбрать и решить любые два из них. Тогда третье удовлетворится автоматически. Выбираем первое и второе уравнения.

Решаем уравнение:

Умножаем на 2 z и интегрируем:

Интегралы табличные,

Потенцируем:

Отсюда
x = C1 y

Подставим во второе уравнение:


Или:

Замечаем, что , тогда

Это линейное уравнение. Решаем с помощью интегрирующего множителя. Разделим на y 2 и преобразуем:


Интегрируем:

Подставим полученное ранее выражение и преобразуем:

Итак, мы нашли два интеграла уравнения характеристик:

Для удобства дальнейших вычислений заметим, что функция от постоянной также является постоянной. Поэтому запишем интегралы в виде:

Общий интеграл исходного уравнения в частных производных имеет вид:
F(φ1, φ2) = 0
Но, поскольку F - произвольная функция от двух аргументов, то общий интеграл можно записать также в виде:
φ1 = F(φ2),
где F - произвольная функция от одного аргумента.

Найдем вид этой функции, рассматривая решение на границе.
На границе, x 2 + y 2 + z 2 = a 2, .
Из уравнения x + y + z = 0, z = -(x + y). Подставим в x 2 + y 2 + z 2 = a 2 и преобразуем:
x 2 + y 2 + (x + y) 2 = a 2
x 2 + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = a 2
2x 2 + 2xy + 2y 2 = a 2
Разделив на y 2, имеем

Итак, мы нашли, что на границе:

.
Подставим в выражение общего интеграла:
φ1 = F(φ2)
.
Сделаем подстановку
:
.

Итак, мы нашли, что на границе функция F имеет вид:
.
Такой же вид она имеет и во всей области, тогда
.
Подставляем выражения для φ1 и φ2:


.
Умножая на a 2y 2 окончательно получаем.

Ответ

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru