Десятичные дроби. Математика 5 класс
Основные правила действий с десятичными дробями
Смысл десятичных дробей в том, что все арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение) можно делать тем же способом, как и с натуральными числами. Новым является только введение запятой, с помощью которой отделяют целую часть от дробной, например 258,3265. Если мы умеем выполнять действия с натуральными числами, то нужно разобраться только с одним – правильно определять положение десятичной запятой.
Основные правила действий с десятичными дробями заключаются в следующем.
- Десятичная дробь записывается также как и натуральное число, только добавляют десятичную запятую, которая отделяет целую часть от дробной. Например, 89,6. Здесь 89 – целая часть; 6 – дробная. Десятичная дробь – это смешанная дробь, знаменатель дробной части которой состоит из произведений числа 10, то есть он может быть одним из следующих чисел: 10, 100, 1000, 10000, 100000, и т.д. Примеры десятичных дробей:
;
;
. - Любое натуральное число можно преобразовать к десятичной дроби, добавив справа запятую и нуль. Например: 775 = 775,0. После таких преобразований, с натуральными числами можно действовать по тем же правилам, что и с десятичными дробями.
- К десятичной дроби можно добавлять или удалять слева и справа любое количество нулей. От этого она не изменится:
567,258 = 0567,258 = 000567,258 = 567,2580 = 567,258000000.
К натуральному числу можно добавлять или удалять нули только слева. Чтобы добавить нули справа, его нужно обязательно сначала преобразовать к десятичной дроби, поставив запятую в конце.
775 = 00775 – это правильно;
775 ≠ 7750 – это неправильно! Добавив к натуральному числу нуль справа, мы увеличили его в 10 раз! Правильно так:
775 = 775,0 = 775,0000.
- Переставляя запятую на один разряд вправо, мы увеличиваем число в 10 раз; а переставляя на один разряд влево, мы уменьшаем его в 10 раз:
5672,58 = 567,258 • 10; 56,7258 = 567,258 : 10. - Для сравнения десятичных дробей, записываем их друг под другом так, чтобы запятые также находились друг под другом. При этом пустые поля слева и справа дополняем нулями. Дальше сравниваем разряды слева направо, начиная с самых старших, то есть с левых цифр. Если у одного из чисел левая цифра больше, то и все число больше. Если левые цифры равны, то сравниваем следующие цифры, и так далее, пока одна из сравниваемых цифр не окажется больше другой.
Пример. Сравним 23,9902 и 123.
Сначала переводим натуральное число в десятичную дробь: 123 = 123,0. Располагаем числа друг под другом, выравнивая по запятым, дополняя пустые места слева и справа нулями:
Сравниваем разряды от старших к младшим, то есть слева направо. Самые левые цифры 0 и 1. Поскольку 1 > 0, то 123 > 23,9902.0 2 3 9 9 0 2 1 2 3 0 0 0 0
Ответ: 23,9902 < 123.
Еще пример. Сравним 580,2631 и 580,26.
Располагаем числа друг под другом, выравнивая по запятым. Второе число дополняем справа нулями, чтобы заполнить пустые места:
Сравниваем слева направо. Первые слева разряды равны: 5 = 5; переходим к следующим. Они тоже равны: 8 = 8. Следующие тоже равны: 0 = 0. Далее 2 = 2, затем снова равенство 6 = 6. Наконец, в предпоследнем разряде встречаем неравенство: 3>0. Значит 580,2631 > 580,26.5 8 0 2 6 3 1 5 8 0 2 6 0 0
Ответ: 580,2631 > 580,26.
- Сложение и вычитание десятичных дробей происходит так же, как сложение и вычитание натуральных чисел. Единственное отличие состоит в том, что мы располагаем дроби так, чтобы их запятые находились друг под другом, дополняя пустые поля слева и справа нулями. Если одно из чисел натуральное, то преобразуем его к десятичной дроби, добавляя запятую справа.
Пример. Найдем сумму 5672,58 + 22,978:
Ответ: 5672,58 + 22,978 = 5695,558.+ 5 6 7 2 5 8 0 0 0 2 2 9 7 8 5 6 9 5 5 5 8
Пример. Найдем разность 5672,581 – 22.
Сначала преобразуем натуральное число к десятичной дроби: 22 = 22,0. Располагаем дроби в столбик, выравнивая по запятой, заполняя пустые места слева и справа нулями, и производим вычитание, как для натуральных чисел:
Ответ: 5672,581 – 22 = 5650,581.– 5 6 7 2 5 8 1 0 0 2 2 0 0 0 5 6 5 0 5 8 1
- Умножение десятичных дробей происходит в четыре приема.
1) Сначала мы перемещаем запятые так, чтобы множители стали натуральными числами.
2) Перемножаем натуральные числа.
3) В полученном произведении ставим запятую на конце, и перемещаем ее на такое же число разрядов, что переместили в первом множителе, но в обратную сторону.
4) Перемещаем запятую на такое же число разрядов, что переместили во втором множителе, но также в обратную сторону.
Пример. Умножим 2,52 на 0,0355.
1) В множителе 2,52 переместим запятую на 2 разряда вправо. Получим натуральное число 252 (252 в 100 раз больше, чем 2,52); в множителе 0,0355 переместим запятую на 4 разряда вправо. Получим 355 (355 в 10000 раз больше, чем 0,0355).
2) Умножаем 252 на 355:
Отсюда 252×355 = 89460 = 89460,0 (произведение 252×355 в 100×10000 = 1000000 раз больше, чем произведение 2,52×0,355). Теперь перемещаем запятую в обратную сторону.× 2 5 2 3 5 5 + 1 2 6 0 1 2 6 0 7 5 6 8 9 4 6 0
3) В первом множителе мы переместили запятую на 2 разряда вправо. Поэтому в произведении перемещаем на 2 влево, получим 894,60.
4) Во втором множителе мы переместили запятую на 4 разряда вправо. Поэтому в произведении нужно переместить на 4 влево. Но в дроби 894,60 слева всего 3 цифры. Поэтому дополняем нулями, и перемещаем запятую на 4 разряда. Получаем 0,089460.
Отбрасывая нуль справа, получаем 0,08946.
Все действия с переносом запятых можно представить математически строгим образом:
.
Ответ: 2,52•0,0355 = 0,08946.
Еще пример. Умножим 0,136 на 3500.
1) В множителе 0,136 переместим запятую на 3 разряда вправо; получим натуральное число 136. Число 3500 – натуральное, его можно оставить как есть. Но проще избавиться от нулей, поскольку 35 тоже натуральное число. Для этого преобразуем 3500 к десятичной дроби: 3500 = 3500,0; и переместим запятую на 2 разряда влево, получим 35.
2) Умножаем 136 на 35:
Отсюда 136×35 = 4760 = 4760,0. Теперь перемещаем запятую в обратную сторону.× 1 3 6 3 5 + 6 8 0 4 0 8 4 7 6 0
3) В первом множителе мы переместили запятую на 3 разряда вправо. Поэтому в произведении перемещаем на 3 влево, получим 4,7600.
4) Во втором множителе мы переместили запятую на 2 разряда влево. Поэтому в произведении перемещаем на 2 вправо, получим 476,00.
Отбрасываем последние нули, получаем натуральное число 476.
Действия с переносом запятых можно представить так:
.
Ответ: 0,136 • 3500 = 476.
- Деление десятичных дробей также происходит в четыре приема.
1) Сначала мы перемещаем запятые в удобные позиции в делимом и делителе.
2) Выполняем деление уголком.
3) Затем в полученном частном переносим запятую в обратную сторону на такое же число разрядов, что переместили в делимом.
4) Потом переносим запятую в ту же сторону на такое же число разрядов, что переместили в делителе.
Самое удобное – перенести запятые, чтобы в делимом и делителе получились натуральные числа, и чтобы делимое было больше делителя. Тогда процесс деления будет следующим.
1.1) Перемещаем запятую в делителе так, чтобы получилось натуральное число без нулей на конце.
1.2) Перемещаем запятую в делимом так, чтобы делимое стало натуральным числом, но больше делителя и без большого количества нулей на конце.
2) Делим натуральные числа уголком. Если нацело не делится, а образовался остаток, то в частном ставим запятую, а к остатку приписываем нуль справа, и продолжаем деление. Если и дальше нацело на делится, то к остатку снова приписываем нуль, и так до тех пор, пока либо остаток не станет нулевым, либо достигнем требуемой точности.
3) Переносим в частном запятую на такое же число разрядов, но противоположно тому, как в самом начале перемещали в делимом.
4) Переносим в частном запятую на такое же число разрядов и в ту же сторону, как в самом начале перемещали ее в делителе.
Пример. Разделим 3,3 на 240.
1.1) В делителе 240 = 240,0 избавимся от нуля на конце. Для чего перенесем запятую на 1 разряд влево: 24,00 = 24.
1.2) Делимое 3,3 можно преобразовать до натурального 33, но чтобы было достаточно места, перенесем запятую на 2 разряда вправо, получим 330.
2) Делим натуральные числа 330 : 24 уголком.
При делении натуральных чисел 330 : 24 получилось 13 с остатком 18. Поскольку числа нацело не делятся, а получился остаток, то в частном ставим запятую, а к остатку приписываем нуль; делим 180 : 24. Получаем 7 с остатком 12. Снова к остатку приписываем нуль, и делим 120 : 24, что делится без остатка и равно 5. В результате мы нашли: 330 : 24 = 13,75.– 3 3 0 2 4 2 4 1 3 7 5 – 9 0 7 2 – 1 8 0 1 6 8 – 1 2 0 1 2 0 0
3) Теперь переносим запятую. В делимом мы перенесли запятую вправо на 2 разряда. Значит, в частном нужно перенести на 2 влево: 0,1375.
4) В делителе мы перенесли на 1 влево. Значит и в частном тоже нужно перенести на 1 влево: 0,01375.
Объяснение переноса запятых:
.
Решение задачи: 3,3 : 240 = 0,01375.
Еще пример. Найдем частное 5,1 : 0,25.
1.1) В делителе перенесем запятую на 2 разряда вправо; получим 25.
1.2) В делимом перенесем запятую на 1 разряда вправо; получим 51.
2) Делим натуральные числа 51 : 25 уголком.
При делении натуральных чисел 51 : 25 получилось 2 с остатком 1. В частном ставим запятую, а к остатку приписываем нуль, и делим 10 : 25. Получаем 0 с остатком 10. Снова к остатку приписываем нуль, и делим 100 : 25, что делится без остатка и равно 4. В результате мы нашли: 51 : 25 = 2,04.– 5 1 2 5 5 0 2 0 4 – 1 0 0 0 – 1 0 0 1 0 0 0
3) Теперь переносим запятую. В делимом мы перенесли запятую вправо на 1 разряд. Значит, в частном нужно перенести на 1 влево: 0,204.
4) В делителе мы перенесли на 2 вправо. Значит и в частном тоже нужно перенести на 2 вправо: 020,4.
Математически строгое объяснение переноса запятых:
.
Решение задачи: 5,1 : 0,25 = 20,4.
Далее рассмотрены некоторые важные понятия, используемые при работе с десятичными дробями.
Понятие десятичной дроби
- Десятичная дробь
- – это смешанная дробь, знаменатель дробной части которой состоит из произведений числа 10. То есть он может быть одним из следующих чисел: 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...
Дробную часть десятичной дроби приводят к сумме разрядов аналогично тому как это делается для натуральных чисел. Например
.
Для записи десятичной дроби сначала записывают целую часть, затем запятую, после которой идут цифры дробной части. Следующая за запятой цифра обозначает количество десятых, следующая – количество сотых, далее количество тысячных, десятитысячных, стотысячных, миллионных, и так далее. Пример:
.
В других странах и в языках программирования, для отделения целой части от дробной, вместо запятой используют точку.
Читают десятичную дробь также как и смешанную дробь. Сначала читают целую часть, затем произносят слово “целых”, потом читают дробную часть. Примеры.
– две целых, три десятых;
– две целых, пятьдесят шесть сотых;
– три целых, семьсот восемьдесят одна тысячная;
– три целых, пять тысячных;
– тридцать две целых, девять тысяч сто двадцать пять десятитысячных.
Преимущество десятичных дробей заключается в том, что все арифметические действия (сравнение, сложение, умножение и деление) выполняют почти также, как и с натуральными числами. Отличие состоит в том, что при этом нужно правильно определить положение запятой. Арифметические действия подробно рассмотрены в начале этой страницы.
Использованная литература:
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Математика. 5 класс. Москва: «Вентана-Граф», 2019.
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, Л.А. Александрова, С.И. Щварцбурд. Математика. 5 класс. Часть 2. Москва: Просвещение, 2021.
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Математика. 6 класс. Москва: Просвещение, 2022.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: