Округление десятичных дробей. Математика 5 класс
Задачи, приводящие к округлению
Допустим, мы хотим нарисовать на бумаге квадрат, площадь которого равна 20 квадратных сантиметров. Мы произвели расчет, и получили, что длина стороны квадрата должна быть 4,47213595499958 сантиметров. Но на линейке минимальные деления соответствуют только миллиметрам, то есть десятым долям сантиметра. Чтобы отложить такой отрезок, нам не нужны сотые и тысячные доли, нам нужно знать только число сантиметров и число их десятых долей. То есть нужно не 4,47213595499958, а значение, содержащее только одну цифру после запятой, но чтобы оно было наиболее близким к точному значению. Такой процесс получения из заданного числа менее точного, но наиболее близкого к нему, называется округлением.
Округляя до десятых долей сантиметра, получим приближенное значение длины стороны квадрата: 4,47213595499958 ≈ 4,5. Округленное значение 4,5 уже можно использовать – для этого, с помощью линейки, нужно отложить 4 сантиметра и 5 миллиметров.
Подобные задачи встречаются довольно часто. При этом возникают потребности округления дробей не только до десятых, но и с точностью до целых, сотых, тысячных, и т.д. Также можно округлять не только дроби, но и натуральные числа до десятков, сотен, тысяч,…. Далее мы рассмотрим правила округления, и возникающие в связи с этим термины.
Правила округления десятичных дробей
Округления до целых
Правило округления десятичных дробей до целых заключается в следующем.
1) Отбрасываем дробную часть. 2) Если первая цифра после запятой (десятые) равна 5, 6, 7, 8 или 9, то к целой части прибавляем 1. В этом случае говорят также округление с точностью до единиц.
Примеры округления до целых.
25,2385 ≈ 25; здесь цифра десятых равна 2, поэтому просто отбрасываем дробную часть.
25,802 ≈ 26; сначала отбрасываем дробную часть; получаем 25; поскольку цифра десятых равна 8, то есть больше или равна 5, то к целой части прибавляем 1; получаем 25 + 1 = 26.
999,5338 ≈ 1000; сначала отбрасываем дробную часть; получаем 999; поскольку цифра десятых равна 5, то есть больше или равна 5, то к целой части прибавляем 1; получаем 999 + 1 = 1000.
Округления до десятых, сотых, тысячных,...
Правила округления до десятых.
1) Оставляем только первую цифру после запятой, остальные отбрасываем. 2) Если вторая цифра после запятой равна 5, 6, 7, 8 или 9, то к прибавляем 0,1.
В этом случае говорят также округление с точностью до десятых.
Примеры округления до десятых.
25,2385 ≈ 25,2; отбрасываем вторую и последующие цифры после запятой, получаем 25,2; поскольку вторая цифра после запятой равна 3, которая меньше пяти, то больше ничего делать не нужно, 25,2385 ≈ 25,2.
25,0299 ≈ 25,0; здесь вторая цифра после запятой (2) меньше пяти; поэтому просто отбрасываем вторую и последующие цифры. Заметим, что нуль на конце округленного значения мы не отбрасываем, поскольку из его вида (25,0) сразу можно понять, что значение округлено с точностью до десятых.
25,099 ≈ 25,1; отбрасываем вторую и последующие цифры после запятой, получаем 25,0; поскольку вторая цифра после запятой равна 9, то есть больше или равна пяти, то прибавляем 0,1: 25,0 + 0,1 = 25,1.
25,999 ≈ 26,0; здесь вторая цифра после запятой равна 9 ≥ 5; поэтому отбрасываем вторую и последующие цифры после запятой и прибавляем 0,1: 25,9 + 0,1 = 26,0. И здесь тоже не отбрасываем нуль на конце, чтобы сразу было понятно, что это округление до десятых, а не до целых.
Правила округления до сотых, тысячных, десятитысячных, и так далее аналогичны рассмотренным выше. Например, чтобы округлить с точностью до трех знаков после запятой, надо отбросить все цифры после запятой начиная с четвертой. Если четвертая цифра после запятой больше или равна 5, то надо прибавить 0,001.
В округленных числах вводят понятие значащей цифры и числа значащих цифр, кототорое характеризует точность округленного числа.
Значащая цифра – это цифра, которая не принадлежит отброшенным разрядам, и не принадлежит первым нулям, если они имеются. То есть первой значащей цифрой не может быть нуль. Среди значащих цифр нули могут быть, только начиная со второй. Если последняя значащая цифра является нулем, то он не отбрасывается как в обычных десятичных дробях, а сохраняется, чтобы указать точность, с которой выполнено округление.
Например, при округлении 25,981 до десятых: 25,981 ≈ 26,0,
значащими цифрами являются 2, 6 и 0. Последние две цифры: 8 и 1 принадлежат разрядам сотых и тысячных, которые мы отбросили и потому не являются значащими цифрами. Число значащих цифр в данном случае равно трем.
При округлении числа 0,0018627 до десятитысячных: 0,0018627 ≈ 0,0019,
значащими цифрами являются 1 и 9. Последние три цифры: 6, 2 и 7 принадлежат разрядам стотысячных и миллионных, которые мы отбросили. Поэтому они не являются значащими цифрами. Первые нули также не являются значащими цифрами. Число значащих цифр в данном случае равно двум.
Правила округления натуральных чисел
Аналогичным образом происходит округление натуральных чисел.
Чтобы округлить до десятков, нужно в разряде единиц поставить нуль. Если число единиц больше или равно 5, то прибавить 10. Примеры:
33533 ≈ 33530, 468 ≈ 470, 6995 ≈ 7000.
Чтобы округлить до сотен, нужно в разрядах десятков и единиц поставить нули. Если число десятков больше или равно 5, прибавить 100. Примеры:
33533 ≈ 33500, 468 ≈ 500, 6995 ≈ 7000.
Чтобы округлить до тысяч, нужно последние три цифры заменить на нули. Если третья с конца цифра больше или равна 5, то прибавить 1000. Например
33533 ≈ 34000, 468 ≈ 0, 6995 ≈ 7000.
И так далее.
При округлении натуральных чисел, значащими являются все цифры, кроме тех, которые мы обнулили. То есть кроме тех, чьи разряды меньше точности округления.
При округлении до тысяч
33533 ≈ 34000,
мы обнулили три последних разряда (533). Поэтому значащими цифрами являются 3 и 4, поскольку они не принадлежат обнуленным разрядам. Число значащих цифр равно 2.
При округлении до сотен
34003 ≈ 34000,
мы обнулили два последних разряда (03). Поэтому значащими цифрами являются 3, 4 и 0, которые не принадлежат обнуленным разрядам. Число значащих цифр равно 3.
Запутанные моменты
При округлении дробей, по округленному числу можно понять с какой точностью проводилось округление. Но при округлении натуральных чисел до десятков, сотен, тысяч, и т.д., мы не отбрасываем младшие разряды, а заменяем их нулями. Поэтому по виду округленного значения натурального числа невозможно понять, с какой точностью выполнялось округление.
Выше мы рассматривали пример округления числа 6995. При его округлении до десятков, сотен и тысяч, получается одно и то же число: 7000.
Но при округлении до десятков оно состоит из трех значащих цифр (подчеркнуты): 7000.
При округлении до сотен – из двух значащих цифр: 7000.
При округлении до тысяч – из одной значащей цифры: 7000.
Хотя округленные значения равны, но они несут разную информацию. В первом случае округленное значение близко к точному. В последнем – значима только одна цифра, то есть, получена довольно грубая оценка; расхождение с точным значением может составлять сотни единиц.
Это означает, что, при округлении натуральных чисел, нужно дополнительно указывать точность. Но это не всегда удобно. Поэтому округленные числа условились записывать в экспоненциальной форме.
Принятые правила записи округленных чисел
В физике и многих других точных науках округленные числа принято записывать в экспоненциальной форме, из которой можно определить точность, с которой выполнено округление.
Допустим, мы округлили число 890375 с точностью до тысяч:
890375 ≈ 890000. Чтобы избавиться от трех последних незначащих нулей, запишем округленное число в виде произведения, первый множитель которого будет состоять только из значащих цифр, а второй из числа 10 в целой степени:
890000 = 8,90•100000 = 8,90•105. Тогда 890375 ≈ 8,90•105. Из такой формы записи сразу видно, что округленное число содержит три значащих цифры: 8, 9 и 0; то есть округлено до тысяч.
Рассмотрим еще примеры. Округлим 0,006524 с точностью до тысячной: 0,006524 ≈ 0,006 + 0,001 = 0,007 = 7/1000 = 7•10-3. Здесь мы отбросили разряды, младше тысячных (524). Но поскольку первая отброшенная цифра равна 5, то прибавили одну тысячную. Сразу видно, что получилось округленное число с одной значащей цифрой.
Если округленное число имеет одну значащую цифру, то его записывают в виде произведения натурального числа на 10 в соответствующей степени.
Округлим 0,006524 с точностью до десятой: 0,006524 ≈ 0,00652 = 6,52/1000 = 6,52•10-3. Здесь мы отбросили разряд миллионных (4). Получили число с тремя значащими цифрами.
Если округленное число имеет две и более значащих цифры, то его записывают в виде произведения десятичной дроби или натурального числа, на 10 в соответствующей степени. При этом десятичная дробь должна содержать только значащие цифры, включая возможные нули на конце.
Округление с недостатком или избытком
Допустим, завод произвел 22 тонны кирпича, которые нужно перевезти потребителю на грузовиках. Каждый грузовик сможет перевезти за один раз не более 5 тонн кирпича (большее количество просто не поместится). Требуется определить, сколько потребуется грузовиков, чтобы перевезти весь кирпич за один раз?
Если разделить 22 на 5, то получим 4,4 грузовика. Но число грузовиков не может быть дробью. Поэтому 4,4 нужно округлить до целого значения. Если округлить по обычным правилам до ближайшего целого, то поучим 4. Но четыре грузовика перевезут только 4•5 = 20 тонн, а 2 останутся. Значит округление до ближайшего целого не подходит, поскольку округленное значение никак не может быть меньше 4,4. Округлять можно только в большую сторону, чтобы округленное значение было больше точного, то есть с избытком. 4,4, округленное до целых с избытком равняется 5. То есть нам потребуется 5 грузовиков.
Аналогичным образом возникают задачи, в которых требуется округление с недостатком. Пусть длина багажника автомобиля составляет 111 сантиметров. Нам нужно перевезти изделия, упакованные в коробах, длина каждого короба равна 30 сантиметров. Требуется определить максимальное количество коробов, которые можно перевезти за один раз.
Для решения такой задачи, разделим 111 на 30, получим 3,7. Если округлить 3,7 с точность. до ближайшего целого, получим 4. Общая длина, занимаемая коробами, составит 30•4 = 120 сантиметров, что превышает длину багажника. Поэтому округлять можно только в меньшую сторону, то есть до ближайшего целого, которое меньше 3,7. Это число равно 3. То есть мы можем перевезти 3 короба.
Чтобы округлить положительную десятичную дробь с недостатком, нужно просто отбросить незначащие цифры.
Чтобы округлить положительную десятичную дробь с избытком, нужно отбросить незначащие цифры, и последнюю значащую цифру увеличить на единицу.
Использованная литература:
А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Математика. 5 класс. Москва: «Вентана-Граф», 2019.
Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, Л.А. Александрова, С.И. Щварцбурд. Математика. 5 класс. Часть 2. Москва: Просвещение, 2021.
С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Математика. 6 класс. Москва: Просвещение, 2022.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: