Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальное уравнение не разрешенное относительно производной, приводящееся к уравнению Бернулли

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной, приводящегося к уравнению Бернулли.

К уравнению Бернулли приводятся уравнения вида:
(1)   ;
(2)   .
Эти уравнения решаются тем же способом, что и уравнение Лагранжа.

Решение уравнения (1)

Рассмотрим уравнение (1):
(1)   .
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(3)   .
Продифференцируем по :
(4)   .
С другой стороны:
(5)   .
Поставим (5) в (4) и преобразуем:
;
.
Разделим на . При уравнение принимает вид:
.

Это дифференциальное уравнение Бернулли относительно . Решая его, получаем зависимость . Вместе с уравнением
(3)  
оно дает параметрическое представление решения уравнения (1).

Особые решения

В процессе приведения к уравнению Бернулли, мы разделили уравнение на и далее рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай . То есть мы должны исключить параметр из уравнений:
;
.

Поставим в последнее уравнение . Тогда уравнение (1) может иметь особые решения, которые определяются из системы уравнений:

То есть особые решения имеют вид:
,
где – корни уравнения
.

Решение уравнения (2)

Аналогично решается уравнение (2):
(2)   .
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Положим
;
Поставим в (2):
(6)   .
Продифференцируем по :
(7)   .
С другой стороны:
(5)   .
Поставим (5) в (7) и преобразуем:
;
(8)   .
Из (6), при имеем:
(9)   .
Поставим (9) в (8):
.
Делим на . При , и возможно при , уравнение принимает вид:
.

Это дифференциальное уравнение Бернулли относительно . Решая его, получаем зависимость . Вместе с уравнением
(9)  
оно дает параметрическое представление решения уравнения (2).

В процессе приведения к уравнению Бернулли, мы разделили уравнение на . Поэтому решение справедливо при . В заключении следует рассмотреть случай . Решая систему

мы можем получить особые решения.

Связь уравнений (1) и (2)

В заключение заметим, что уравнение вида (2) приводится к уравнению вида (1) заменой:
.
Действительно, перепишем уравнение (2):
(2)   .
.
Поменяем местами и :
.

Это уравнение вида (1). Как видно, при этом нужно заменить функцию :
.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru