Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения Клеро и нахождение его особого интеграла. Дан пример решения дифференциального уравнения Клеро.
Дифференциальное уравнение Клеро – это уравнение вида

Решение дифференциального уравнения Клеро

Рассмотрим уравнение Клеро:
(1)  
Не трудно убедиться, что его общее решение имеет вид:
(2)  

Действительно, поскольку – постоянная, то – тоже постоянная. Тогда дифференцируя (2) имеем:
;
(3)   .
Подставляя (2) и (3) в (1), получаем тождество:
.

Особый интеграл дифференциального уравнения Клеро

Уравнение Клеро может иметь особый интеграл. Как известно, если общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
,
то особенное решение может получиться исключением из уравнений:
;
.

В нашем случае, решение (2) можно записать в виде:
.
Тогда
.
Тогда особое решение может получиться, исключением из уравнений:
;
.

Поскольку возможны посторонние решения, то после нахождения особого интеграла, необходимо проверить, удовлетворяет ли он исходному уравнению (1).

Пример

Решить уравнение:
(1.1)  

Решение

Это уравнение Клеро. Его общее решение имеет вид:

Ищем особый интеграл. Перепишем общее решение в виде:
.
Дифференцируем по :

.
Тогда особое решение может получиться исключением из уравнений:
(1.2)   ;
(1.3)   .

Исключаем . Из уравнения (1.3) имеем:
(1.4)   .
Возводим в квадрат и преобразуем:
;
;
. Отсюда следует, что .
Извлекаем квадратный корень:
(1.5)   .
Поскольку мы возводили в квадрат, то, возможно, (1.5) содержит лишние решения, которые не удовлетворяют (1.4). Сейчас мы примем (1.5), а отсев лишних решений сделаем в самом конце.
Подставим (1.4) и (1.5) в (1.2):
.

Итак, особые решения имеют вид:
(1.6)   .
Теперь сделаем проверку, чтобы выяснить, удовлетворяет ли исходному уравнению (1.1):
(1.1)   .
Находим производную (1.6) и выполняем преобразования:

;
;
.
Подставляем в (1.1):
(1.7)   .

При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять нижний знак:
.
То есть при , .

При , . Уравнение (1.7) принимает вид:
.
Оно выполняется, если взять верхний знак:
.
То есть при , .

Ответ

Общее решение уравнения имеет вид:

При уравнение имеет особое решение:
.

При уравнение имеет особое решение:
.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru