Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальное уравнение Риккати

Определение дифференциального уравнения Риккати. Рассмотрены частные случаи решения дифференциального уравнения Риккати, его свойства и приведение к более простой форме.
Дифференциальное уравнение Риккати это уравнение вида

y′+p(x)y+q(x)y^2+r(x)=0

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Пусть известно частное решение y1(x) уравнения Риккати:
y_1 prime~+~p(x)y_1~+~q(x){y_1}^2~+~r(x)~=~0
Тогда подстановкой y = y1 + u такое уравнение приводится к уравнению Бернулли:
y_1 prime~+~u prime~+~p(x)(y_1~+~u)~+~q(x)(y_1~+~u)^2~+~r(x)~=~0
Или:
y_1 prime~+~u prime~+~p(x)(y_1~+~u)~+~q(x)({y_1}^2~+~2 y_1 u ~+~ u^2)~+~r(x)~=
~=~y_1 prime~+~p(x)y_1~+~q(x){y_1}^2~+~r(x)~+~u prime~+~p(x)u~+~q(x)(2 y_1 u ~+~ u^2)~=
~=~0~+~u prime~+~(p(x)~+~2q(x)y_1)u~+~q(x)u^2~=~0
Или:
u prime~+~(p(x)~+~2q(x)y_1)u~+~q(x)u^2~=~0
Это уравнение Бернулли с n = 2.

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

  • Произвольное преобразование независимого переменного:
    x = φ(x1)
  • Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:
    y~=~{alpha y_1+beta}/{gamma y_1+delta}

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:
y~=~{C varphi_1(x)~+~varphi_2(x)}/{C psi_1(x)~+~psi_2(x)}
И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнение Риккати

Подстановкой:
y~=~A~ y_1/q
где А - постоянная, уравнение Риккати приводится к виду:
y_1 prime~+~p_1 y_1~+~ A{y_1}^2~+~r_1~=~0
где:
p_1 ~=~ p~minus~{q prime}/q;~~~r_1~=~{r dot q}/A

Далее, подстановкой:
y_1~=~ y_2~minus~ p_1/{2A}~
оно приводится к виду:
y_2 prime~+~ A{y_2}^2~+~r_2~=~0
где:
r_2~=~minus~{p_1 prime}/{2A}~minus~{p_1}^2/{4A}~+~r_1

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати - это уравнение вида:
y prime+Ay^2~=~Bx^m (1)
где A, B - постоянные. Оно интегрируется при
m~=~{minus 4n}/{2n+1}
где n = ±1, ±2, ±3,… - целое.

Сделаем подстановку:
y~=~u/x;~~x^{m+2}~=~t
y prime~=~dy/dx~=~{du/dx x minus u}/{x^2}~=~1/x dot du/dx minus u/{x^2}
Подставляем в (1):
1/x dot du/dx minus u/{x^2}+A{u^2}/{x^2}~=~Bx^m
Умножаем на x2:
x dot du/dx minus u+A u^2~=~Bt (2)
Но:
x dot du/dx~=~{x^{m+2} du}/{x^{m+1} dx}~=~(m+2) {x^{m+2} du}/{~~~dx^{m+2}}~=~(m+2)t du/dt~=~(m+2)t u prime
Подставляем в (2):
(m+2)t u prime minus u+A u^2~=~Bt
Или:
t u prime + alpha u+beta u^2~=~gamma t (3)
где:
alpha~=~ minus 1/{m+2};~~beta~=~A/{m+2};~~gamma~=~~B/{m+2}
Уравнение (3) интегрируется при
alpha~=~ minus 1/2 .
Для этого разделим его на u2 и перепишем в виде:
{sqrt{t} dot sqrt{t} u prime}/{u^2} minus 1/2 dot 1/u+beta~=~minus sqrt{t}(sqrt{t} (1/u)^, + (sqrt{t})^, 1/u) +beta~=
~=~minus sqrt{t}({sqrt{t}}/u)^, +beta~=~gamma t/{u^2}~=~gamma (sqrt{t}/u)^2
Или:
~=~minus sqrt{t}({sqrt{t}}/u)^, +beta~=~gamma (sqrt{t}/u)^2
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При alpha~<>~ minus 1/2 уравнение (3) можно преобразовать двумя путями:

  1. Подстановкой u~=~t/{a+v}, где a~=~{1+alpha}/gamma, оно преобразуется к виду: t v prime + (alpha+1) v+gamma v^2~=~beta t
  2. Подстановкой u~=~a+t/v, где a~=~minus alpha/beta, оно преобразуется к виду: t v prime + (alpha minus 1) v+gamma v^2~=~beta t

Таким образом, при alpha~=~ nu + 1/2, где ν - целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru