Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вывод производных высших порядков арксинуса (arcsin x) и арккосинуса (arccos x)

Производные высших порядков арксинуса и арккосинуса
Представлен вывод производных высших порядков арксинуса (arcsin x). Формулы производных арксинуса второго, третьего, четвертого и пятого порядка. Производная n-го порядка выражается через многочлен и корень. Даны уравнения для многочленов и вывод значений их коэффициентов. Выражение производной n-го порядка арккосинуса через производную арксинуса.

Основные результаты

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
(1)   .
Нам известна производная первого порядка этой функции (см. Вывод производных арксинуса и арккосинуса):
(2)   .

Непосредственным дифференцированием, или используя приведенные ниже формулы, можно найти производные арксинуса от второго до пятого порядков:
;   ;   ;   .

В общем случае, производная арксинуса произвольного, n-го порядка, выражается через многочлен и корень:
(3)   ,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
(4)   ;
(5)   .
Здесь .

Отсюда можно определить производную арксинуса в нуле, то есть при . Для нечетных n = 2m + 1,
.
Для четных n = 2m, производная равна нулю:
.

Производная n-го порядка арксинуса удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(6)   .
Это уравнение связывает производные трех порядков. При n = 0 получаем уравнение, связывающее производные первого и второго порядков:
(7)   .

Многочлены связаны следующими соотношениями:
(8)   ;
(9)   ;
(10)   .

Производные высших порядков арккосинуса (arccos x)

Зная значения производных арксинуса, легко получить значения производных арккосинуса. Для этого нужно воспользоваться связью между этими функциями:
.
Тогда производная n-го порядка арккосинуса равна производной n-го порядка арксинуса, взятой с обратным знаком:
.

Вывод формул

Ниже мы выведем формулы (4–5), которые определяют значения коэффициентов многочленов . Однако, чтобы сделать это, нам нужно сначала вывести формулы (6–10), устанавливающие связь между производными арксинуса и соотношения между многочленами.

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса высших порядков

Пусть
(1)   .
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
(2)   .
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Учитывая (2), запишем производную второго порядка в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
(7)   .

Дифференцируем это уравнение n раз, применяя формулу Лейбница. В результате получаем формулу (6), связывающую производные трех высших порядков:

;
;
;
(6)   .

Выражение производной n-го порядка через многочлен и корень

Легко убедиться, что производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
(3)   ,
где – многочлен степени .

Связь между многочленами различных степеней

Выведем формулу (9), устанавливающую связь между многочленами различных степеней. Для этого подставим (3) в (6):
.
Умножив на , получим (9):
(9)   .

Теперь выведем формулу (8), связывающую многочлены двух соседних степеней. Запишем (3):
(3)   .
Дифференцируем по :

;
.
Поскольку   ,   то
(8)   .

Дифференциальное уравнение для многочленов

Теперь покажем, что многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению (10). Для этого мы используем формулы (8) и (9) и получим уравнение, содержащее только многочлен и его производные одной степени.

Дифференцируем (8) по :


;
(11)   .
Заменим в (8) на :
.
Подставим сюда (11) и (8):




.
Итак,
(12)   .
Подставим (12) и (8) в (9):
(9)   ;

;

.
Преобразуем коэффициент при :


.
Подставляем в предыдущее уравнение и сокращаем на :
(10)   .

Значения производных арксинуса высших порядков в нуле

Здесь мы покажем, что для нечетных n = 2m + 1, производная арксинуса в нуле, то есть при , имеет значение
.
Для четных n = 2m, она равна нулю:
.

Поскольку
,
то при ,
.
То есть n-я производная арккосинуса в нуле равна значению многочлена в нуле. Таким образом, нам нужно найти значение многочлена при .

Выпишем уравнение (9) явно указывая, что есть функция от x:
(9)   .
Подставим :
, или
(13)   .
Из этого уравнения легко получить значения многочленов в нуле.

Рассмотрим нечетные n. Для них n можно записать в виде:
,
где – целое неотрицательное число. Воспользуемся формулой (3):
(3)   .
Производная первого порядка нам известна:
(2)   .
Отсюда . Это постоянная. Она имеет равные значения для всех x. Соответственно, при ,
(14)   .

Подставим в (13) и используем (14):
.
Аналогично, подставляем и :
;
;
.
Теперь легко записать значение многочлена произвольной нечетной степени в нуле:
(15)   ;   .

Рассмотрим четные n. Выше мы нашли производную второго порядка:
.
Отсюда . Тогда . Используя формулу (13) получаем, что все четные производные в нуле равны нулю:
(16)   .

Вывод значений коэффициентов многочленов

Теперь мы можем найти значения коэффициентов многочленов. Запишем разложение многочлена по степеням x в общем виде:
(17)   .
Здесь – коэффициенты, которые нам нужно найти.

Дифференцируя (17), находим первую и вторую производные:
(18)   .
.
Подставляем их в (10) и выполняем преобразования:
(10)   ;
;
.
Преобразуем три последних члена:

.
В первом члене заменим . Получаем:
.
Отсюда получаем связь между коэффициентами при различных степенях x:
(19)   .
Зная значения первых коэффициентов и , по этой формуле можно определить значения остальных.

Нечетные n

Пусть n нечетно, .
Найдем значение первого коэффициента. В (15) мы нашли значение многочлена в нуле:
.
Но поскольку , то
.
Обозначим это значение буквой A:
;
.

Найдем значение второго коэффициента. Для этого используем формулу производной многочлена:
(18)   .
Далее подставим сюда :
.
То есть значение второго коэффициента равно значению производной многочлена в нуле. Для ее нахождения, подставим в (8) значение :
.
Поскольку n нечетно, то четно. Тогда из (16) следует, что . Поэтому . И вместе с этим
.

Тогда из (19) следует, что поскольку , то все коэффициенты нечетных степеней x равны нулю: . Отличны от нуля только коэффициенты четных степеней, для которых r четно.

Подставим в (19) :
(19)   .
;
;
;
(20)   .

По формуле (20) найдем значения нескольких первых коэффициентов, учитывая, что коэффициент нам известен:
;
;
.

Отсюда не трудно установить общий вид коэффициентов:
.
Тогда многочлен имеет вид:
.

Четные n

Теперь рассмотрим четные n, . Мы уже нашли, что для четных n, . Поэтому
.

Найдем значение второго коэффициента. Для этого подставим в (8) значение :
.
Отсюда
.

Рассмотрим (19):
(19)   .
Поскольку , то все коэффициенты четных степеней x равны нулю: . Отличны от нуля только коэффициенты нечетных степеней, для которых r нечетно. Тогда неравенства для можно записать в виде:
.

Подставим в (19) :
;
;
;
(21)   .

По этой формуле найдем значения нескольких первых коэффициентов:
;
;
.

Устанавливаем общий вид коэффициентов:
.
Тогда многочлен имеет вид:

.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: