Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вывод производных арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′

Производные арксинуса и арккосинуса
Представлен вывод производных первого порядка арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′. Для каждой из функций, вывод дан двумя способами.

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)   .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)   .

Производную правой части находим из таблицы производных:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.

Применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)   .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.

Второй способ

Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7)   .

Из таблицы производных находим:
.

Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (7):
.
Отсюда
.

Опубликовано: