Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Вывод производных обратных тригонометрических функций

Производные обратных тригонометрических функций
Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул.

Вывод производных арксинуса и арккосинуса

Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin x.
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y – функция от x. Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.

Поскольку , то . Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
. Отсюда
.

Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда
.

Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса”. Там дается вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Вывод производных арктангенса и арккотангенса

Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.

Пусть
y = arctg x.
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Итак, мы нашли:
.

Далее выразим через и учтем, что .
.
Тогда
.
Отсюда
.

Производная арккотангенса:
.

См. “Вывод производных арктангенса и арккотангенса”. На этой странице изложен вывод производных двумя способами – рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.

Производные высших порядков

Далее мы приводим некоторые соотношения и выражения для производных высших порядков от обратных тригонометрических функций. Полное изложение вывода формул производных высших порядков представлено на страницах Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса и Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса.

Производные арксинуса

Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.

Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.

Производная арксинуса n-го порядка

Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Производная арккосинуса n-го порядка

Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.

Производные арктангенса

Пусть . Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.

Разложим дробь на простейшие:

.
Здесь – мнимая единица, .

Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:

.

Подставляя , получим:
.

Производная арктангенса n-го порядка

Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >

Производные арккотангенса

Пусть теперь . Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.

Подставив , найдем:
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано: