Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Примеры вычисления производных высших порядков явных функций

Производные высших порядков
Рассмотрены примеры вычисления производных высших порядков явных функций. Даны полезные формулы для вычисления производных n-го порядка.

Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y зависит от переменной x явным образом:
.
Дифференцируя функцию    по переменной x, получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию  , которая является производной функции  . Дифференцируя эту новую функцию    по переменной x, получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию  , получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию    n раз, получаем производную n-го порядка или n-ю производную:
.

Производные могут обозначаться штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так:
;
.

Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков.

Полезные формулы производных n-го порядка

Производные некоторых элементарных функций:
;
;
;
;
.

Производная суммы функций:
,
где    – постоянные.

Формула Лейбница производной произведения двух функций:
,
где
– биномиальные коэффициенты.

Пример 1

Найти производные первого и второго порядка следующей функции:
.

Решение

Находим производную первого порядка. Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу    из таблицы производных:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь  .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь  .

Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой  :
(П1.1)   .
Тогда производная второго порядка от исходной функции    является производной от функции  :
.

Находим производную от функции  . Это проще сделать с помощью логарифмической производной. Логарифмируем (П1.1):
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2)   .
Но   – это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от    мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):

.
Отсюда
.

Ответ

;
.

Пример 2

Найти производную третьего порядка:
.

Решение

Находим производную первого порядка. Для этого выносим постоянную    за знак производной, используем таблицу производных и применяем правило нахождения производной сложной функции.

.
Здесь  .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.

Находим производную второго порядка. Для этого находим производную от  . Применяем формулу производной дроби.
.
Производная второго порядка:
.

Теперь находим искомую производную третьего порядка. Для этого дифференцируем  .
;
;

.

Ответ

Производная третьего порядка равна
.

Пример 3

Найти производную шестого порядка следующей функции:
.

Решение

Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени  . Запишем ее в виде многочлена:
,
где    – постоянные коэффициенты.

Далее применим формулу n-й производной степенной функции:
.
Для производной шестого порядка (n = 6) имеем:
.
Отсюда видно, что    при  . При   имеем:
.

Используем формулу производной суммы функций:

.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени  . Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:

.
Отсюда  . Тогда
.

Ответ

.

Пример 4

Найти n-ю производную функции
.

Решение > > >

Пример 5

Найти n-ю производную следующей функции:
,
где и – постоянные.

Решение

В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию
(П5.1)   ,
где    и    – функции от действительной переменной x;
– мнимая единица,  .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2)   .
Иногда проще найти n-ю производную от функции . Тогда n-е производные функций    и    определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.

Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.

Найдем n-ю производную функции
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.

Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции  :
,
где  .
Найдем действительную часть функции  .
Для этого представим комплексное число   в показательной форме:
,
где  ;
;   .
Тогда
;

.

Решение примера
.

Пусть , .
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.

Ответ

,
где
;   .

Опубликовано: