Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен метод решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения такого уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

,
где p и q – функции переменной x.
Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1)   .
Существует три способа решения этого уравнения:

Решение линейного дифференциального уравнения с помощью интегрирующего множителя

Рассмотрим метод решения линейного дифференциального уравнения первого порядка с помощью интегрирующего множителя.
Умножим обе части исходного уравнения (1) на интегрирующий множитель
:
(2)  
Далее замечаем, что производная от интеграла равна подынтегральной функции:

По правилу дифференцирования сложной функции:

По правилу дифференцирования произведения:


Подставляем в (2):

Интегрируем:

Умножаем на    . Получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

Решить уравнение

Решение

Разделим обе части исходного уравнения на x:
(i)   .
Тогда
;
.
Интегрирующий множитель:

Знак модуля можно опустить, поскольку интегрирующий множитель можно умножать на любую постоянную (в том числе на ± 1).
Умножим (i) на x 3:
.
Выделяем производную.
;
.
Интегрируем, применяя таблицу интегралов:
.
Делим на x 3:
.

Ответ

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru