Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Производная суммы и разности функций

Приведена формула производной суммы и разности функций. Приведено доказательство и подробно разобраны примеры применения этой формулы.

Пусть и являются функциями от независимой переменной x. Пусть они дифференцируемы в некоторой области значений переменной x. Тогда, в этой области, производная от суммы (разности) этих функций равна сумме (разности) производных этих функций:
(1)   .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы при , то существуют следующие пределы, которые являются производными этих функций:
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является суммой функций и :
.
Применим определение производной.


.

Тем самым мы доказали, что производная от суммы функций равна сумме производных:
.

Тем же способом можно показать, что производная от разности функций равна разности производных:
.
Это можно показать и другим способом, применяя только что доказанное правило дифференцирования суммы и правило вынесения постоянной за знак производной:
.

Эти два правила можно записать в виде одного уравнения:
(1)   .

Следствие

Выше мы рассмотрели правило нахождения производной от суммы двух функций. Это правило можно обобщить на сумму и разность от любого числа дифференцируемых функций.

Производная от суммы (разности) любого конечного числа дифференцируемых функций равна сумме (разности) их производных. С учетом правила вынесения постоянной за знак производной, это правило можно записать так:
.
Или в развернутом виде:
(2)   .
Здесь – постоянные;
– дифференцируемые функции от переменной x.

Доказательство следствия

При n = 2, применим правило (1) и правило вынесения постоянной за знак производной. Имеем:
.
При n = 3 применим формулу (1) для функций и :
.

Для произвольного числа n применим метод индукции. Пусть уравнение (2) выполняется для . Тода для имеем:

.
То есть из предположения, что уравнение (2) выполняется для следует, что уравнение (2) выполняется для . А поскольку уравнение (2) выполняется для , то оно выполняется для всех .
Следствие доказано.

Примеры

Пример 1

Найдите производную
.

Решение

Раскрываем скобки. Для этого применим формулу
.
Также используем свойства степенных функций.
;

;
.

Применяем формулу (2) для производной от суммы и разности функций.
.

Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
;
.

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную от функции от переменной x
.

Решение

Приведем корни к степенным функциям.
.
Применяем правило дифференцирования суммы и разности.
.
Применяем формулы из таблицы производных.
;
;
;
;
;
.
Подставляем:
.
Приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы учли, что заданная функция определена при .
.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную функции
.

Решение

Преобразуем функцию. Для этого применим свойства степенной функции и корней:

;
;
;
.

Находим производную, применяя правило (2):


.

Здесь мы применили формулу из таблицы производных:

Ответ

Опубликовано: