Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных
Русский  |  English
интегралов

Метод Бернулли (введение двух функций). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом введения двух функций (Бернулли). Дан пример подробного решения линейного дифференциального уравнения методом введения двух функций (Бернулли).

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли.

Метод введения двух функций (Бернулли)

Ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций:
y = u · v
где u, v - функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(1)  
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(2)  
Это уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение.

Потенцируем и опускаем знак модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).

Подставим в (1) учитывая, что согласно (2), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем

Окончательно находим:

.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Бернулли

Решить уравнение

Решение

Делаем подстановку:
y = u · v
где u, v - функции от x. Дифференцируем:
y′ = u′ · v + u · v′
Подставляем в исходное уравнение:

Выносим u за скобки:
(3)  
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)   .
Это уравнение с разделяющимися переменными,
.
Разделяем переменные. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на xv:

Интегрируем:

Постоянную C возьмем равной нулю, поскольку нам нужно любое, отличное от нуля, решение. По таблице интегралов, находим:

Или

Потенцируем и опускаем знаки модуля (Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1).

Подставим в (3) учитывая, что согласно (4), выражение в скобках равно нулю:

Отсюда

Интегрируем, применяя формулу :
.
Окончательно находим:
.

Ответ

Общее решение уравнения:

Опубликовано:   Изменено:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru