Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Решение дифференциальных уравнений высших порядков методом Бернулли

Метод Бернулли - решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков
Рассмотрен метод Бернулли (двух функций) для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Этот метод применим, если известно частное решение однородного уравнения. Приведены примеры решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом Бернулли.

Ранее мы рассмотрели метод Бернулли для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка. Этот метод также можно применить и для решения уравнений высших порядков. Если нам известно частное решение однородного уравнения, то применяя метод Бернулли, мы можем понизить порядок уравнения.

Пусть мы имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение произвольного, n-го порядка:
(1)   .
Здесь является функцией от независимой переменной x. Коэффициенты также являются функциями от x.

Метод Бернулли заключается в том, что мы ищем решение уравнения (1) в виде произведения двух функций:
(2)   .
Здесь и – функции от переменной x.
Если в качестве взять частное (любое, отличное от нуля) решение однородного уравнения
(3)   ,
то такая подстановка приводит к понижению порядка исходного уравнения (1).

Покажем это. Пусть нам известна функция , удовлетворяющая уравнению (3). Применим формулу Лейбница для n-й производной произведения двух функций:

.
Здесь – биномиальные коэффициенты.

Разобьем сумму на две части:
.
Тогда первая часть содержит только производные от неизвестной функции u. Подставим в (1) и сгруппируем члены:

.
В силу (3), сумма членов в скобках равна нулю. В результате получаем:
.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции . Оно содержит производные функции u и не содержит саму функцию в явном виде. Выполнив подстановку , мы получим линейное неоднородное уравнение n-1 -го порядка.
См. «Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде».

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка методом Бернулли (введением двух функций):
(П1.1)  

Решение

Шаг 1. Вводим две функции

Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П1.2)   .
Подставляем в уравнение (П1.1) и группируем члены:
;
(П1.3)   .

Шаг 2. Решение однородного уравнения

Решаем однородное уравнение
(П1.4)   .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение:
.
Получаем кратные корни: . Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения линейного однородного уравнения (П1.4):
.
В качестве функции мы можем взять любое решение уравнения (П1.4). Возьмем наиболее простое. Пусть
(П1.5)   .

Шаг 3. Понижение порядка

Подставляем (П1.5) в (П1.3), учитывая (П1.4):
;
;
;
;
(П1.6)   .

Шаг 4. Интегрирование

Интегрируем (П1.6), используя таблицу интегралов:
;
;

.
Окончательно имеем:
.

Ответ

.

Пример 2

Решить дифференциальное уравнение второго порядка методом Бернулли:
(П2.1)  

Решение

Шаг 1. Вводим две функции

Ищем решение в виде произведения двух функций:
(П2.2)   .
Подставляем в уравнение (П2.1) и группируем члены:
;
(П2.3)   .

Шаг 2. Решение однородного уравнения

Решаем однородное уравнение
(П2.4)   .
Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:
.
Оно имеет комплексные корни:
.
Этим корням соответствуют два линейно-независимых решения однородного уравнения (П2.4):
.
В качестве функции , мы можем взять любое, отличное от нуля, решение уравнения (П2.4). Возьмем
(П2.5)   .

Шаг 3. Понижение порядка

Подставляем (П2.5) в (П2.3), учитывая (П2.4):
;
;
.
Мы получили дифференциальное уравнение, не содержащее функцию в явном виде. Сделаем подстановку . В результате получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
(П2.6)   .

Шаг 4. Решение дифференциального уравнения первого порядка

Уравнение (П2.6) можно также решить методом Бернулли, но это проще сделать с помощью интегрирующего множителя. Умножим уравнение (П2.6) на и выполняем преобразования:
;
;
.
Интегрируем:
.
Возвращаемся к переменной u:
.
Интегрируем еще раз и вычисляем интегралы (см. «Интегрирование тригонометрических рациональных функций» и «Таблица неопределенных интегралов»):
;

;
;
.

Окончательно имеем:
.

Ответ

.

.     Опубликовано: