Одномерные уравнения ГЛ и первый интеграл

Получение уравнений Гинзбурга Ландау в одномерном случае для однородного и бесконечно протяженного сверхпроводника, когда все физические величины зависят от одной координаты x. Граничные условия; первый интеграл.

Основные результаты

Рассмотрим бесконечно протяженный сверхпроводник, помещенный во внешнее магнитное поле ^→H₀  = (0, 0, H₀ )  .  Пусть справа, при x →  + ∞ расположена сверхпроводящая фаза, а слева – нормальная. И пусть все физические величины зависят только от координаты x.
1. Решение уравнений Гинзбурга-Ландау описывается двумя действительными функциями  f (x )  и A_y (x )  ,  которые определяют безразмерную волновую функцию  f  =  f (x )  ,  ψ = √  | a | b     f  ,  векторный потенциал ^→A = (0, A_y (x ) , 0 )  ,  магнитное поле ^→H = (0, 0, A^′_y(x ) )  ,  а также плотность тока сверхпроводящих электронов ^→j_s  = c4π rot ^→H = (0, j_sy , 0 )  , 
j_sy  = – c4π A^′′_y(x )  =  – c4πλ²   f ² (x )  A_y (x )  . 
2. Неизвестные функции удовлетворяют следующим уравнениям:
(14)   – ξ²  f ^′′(x )  + ( 2πξΦ₀   ) ² A²_y (x )   f (x )  –   f (x )  +  f ³ (x )  = 0 ;
(13)   λ² A^′′_y(x )  =  f ² (x )  A_y (x )  , 
где Φ₀  = πℏce  – квант потока,   λ = √ mc² b8πe²  | a |     – глубина проникновения магнитного поля,
0 ≤  f (x )  ≤ 1,   – ∞ < A_y (x )  ≤ 0 .
3. Граничные условия.
При x →  + ∞,   f (x )  → 1,  A_y (x )  → 0 .
3.1. Если сверхпроводник не имеет границы, то при x →  – ∞,   f (x )  → 0,  A^′_y(x )  → H₀  . 
Поскольку уравнения не содержат x явно, то решение имеет вид  f  =  f (x – C ) ,  A_y  = A_y (x – C )  ,  где C – постоянная. Поэтому нужно задать значение этой постоянной, наложив условие в конечной точке, например  f (0 )  = 1 / 2 .
3.2. Если сверхпроводник ограничен диэлектриком при x = 0 , то
 f ^′(0 )  = 0,  A^′_y(0 )  = H₀  . 

Вывод уравнений

Рассмотрим бесконечно протяженный сверхпроводник, помещенный во внешнее магнитное поле, направленное вдоль оси z: ^→H₀  = (0,  0,  H₀ )  .  Рассмотрим уравнения Гинзбурга – Ландау для этого простого случая. Считаем, что все физические величины зависят только от координаты x. Пусть справа, при x →  + ∞ будет сверхпроводящее состояние, Тогда безразмерная волновая функция  f  → 1 при x →  + ∞ .  Слева, при x →  – ∞ – нормальная фаза.

Предположим, что в сверхпроводнике магнитное поле также направлено вдоль оси z:
(1)   ^→H = (0, 0, H_z (x ) )  . 
Если это не так, то мы получим несовместные уравнения.

Используем уравнения Гинзбурга-Ландау для безразмерной волновой функции  f  = √ b | a |     ψ  : 
(2)   ξ² ( – i∇ – 2πΦ₀  ^→A  ) ²  f  –   f  +  f  |  f  | ²  = 0   – первое уравнение ГЛ;
(3)   λ² rot rot ^→A =  – i Φ₀ 4π ( f ^* ∇ f  –  f ∇ f ^* )  –  |  f  | ^2 →A   – второе уравнение ГЛ;
(4)   ( i∇ f  + 2πΦ₀  ^→A f  )  ⋅ ^→n = 0   – граничное условие между сверхпроводником и диэлектриком.

Чтобы описать магнитное поле вида (1), достаточно положить A_x  = A_z  = 0 . Тогда
(5)   ^→A = (0, A_y (x ) , 0 )  . 

Выражаем поле ^→H через потенциал ^→A . 
^→H = rot A =  ( ∂A_z ∂y – ∂A_y ∂z ,  ∂A_x ∂z – ∂A_z ∂x ,    ∂A_y ∂x – ∂A_x ∂y  )  = (0, 0, A^′_y(x ) )  ; 
^→H = (0, 0, A^′_y(x ) )  . 
Здесь штрих означает производную функции A_y (x )  по ее аргументу: A^′_y(x )  = dA_y dx  .  Далее находим:
rot rot ^→A = rot ^→H =  ( ∂H_z ∂y – ∂H_y ∂z ,  ∂H_x ∂z – ∂H_z ∂x ,    ∂H_y ∂x – ∂H_x ∂y  )  = (0,  – A^′′_y(x ) , 0 )  ; 
rot rot ^→A = (0,  – A^′′_y(x ) , 0 )  . 

Волновая функция может зависеть от x, y и z. При этом плотность сверхпроводящих электронов, пропорциональная  |  f  | ²  ,  зависит только от переменной x . 

Подставляя rot rot ^→A = (0,  – A^′′_y(x ) , 0 )  и ^→A = (0, A_y (x ) , 0 )  во второе уравнение ГЛ, получаем три уравнения для x, y и z компонент.
(3)   λ² rot rot ^→A =  – i Φ₀ 4π ( f ^* ∇ f  –  f ∇ f ^* )  –  |  f  | ^2 →A ; 
(6)   0 = – i Φ₀ 4π (  f ^* ∂ f ∂x –  f ∂ f ^* ∂x  )  – 0 ;
(7)   – λ² A^′′_y(x )  =  – i Φ₀ 4π (  f ^* ∂ f ∂y –  f ∂ f ^* ∂y  )  –   |  f  | ² A_y (x )  ; 
(8)   0 = – i Φ₀ 4π (  f ^* ∂ f ∂z –  f ∂ f ^* ∂z  )  – 0 .

Выразим комплексную функцию  f  через модуль φ и аргумент θ  : 
(9)    f  = φ (x ) e^{iθ (x,y,z )}  , 
Где φ и θ – действительные функции. При этом  |  f  | ²  = φ² (x )  ,  как упоминалось выше, зависит только от переменной x . 

Подставим (9)  в  (6):
∂ f ∂x = ∂φ∂x e^iθ  + iφ ∂θ∂x e^iθ  ;    ∂ f ^* ∂x = ∂φ∂x e^iθ  – iφ ∂θ∂x e^iθ  ; 
(6)    f ^* ∂ f ∂x =  f ∂ f ^* ∂x  ; 
 f ^* ∂ f ∂x = φ ∂φ∂x + iφ² ∂θ∂x =   f ∂ f ^* ∂x = φ ∂φ∂x – iφ² ∂θ∂x  ; 
iφ² ∂θ∂x = – iφ² ∂θ∂x  ; 
φ² ∂θ∂x = 0 .
Но φ²  ≠ 0 , поскольку она пропорциональна плотности сверхпроводящих электронов. Тогда ∂θ∂x = 0 . То есть θ не зависит от x . 

Аналогичным способом, из (8) заключаем, что θ не зависит от z .  То есть θ может быть функцией только от переменной y: θ = θ (y )  .  Таким образом, мы пришли к более простому виду функции  f   : 
(10)    f  = φ (x ) e^iθ (y )  . 

Подставим (10) в (7).
(7)   – λ² A^′′_y(x )  =  – i Φ₀ 4π (  f ^* ∂ f ∂y –  f ∂ f ^* ∂y  )  –   |  f  | ² A_y (x )  ; 
∂ f ∂y = φ (x ) i ∂θ∂y e^iθ (y )  ;    ∂ f ^* ∂y = – φ (x ) i ∂θ∂y e^{– iθ (y )}  ; 
 f ^* ∂ f ∂y –  f ∂ f ^* ∂y =  φe^– iθ φiθ^′e^iθ  – φe^iθ (– iφθ^′e^– iθ )  =  2iφ² θ^′ ; 
– λ² A^′′_y(x )  =  – i Φ₀ 4π 2iφ² (x ) θ^′(y )  – φ² (x ) A_y (x )  ; 
– λ² A^′′_y(x )  =  2 Φ₀ 4π φ² (x ) θ^′(y )  – φ² (x ) A_y (x )  . 
Поскольку от переменной y зависит только слагаемое, содержащее θ^′(y )  ,  то θ^′(y )  может быть только постоянной. Обозначим ее как
k_y  = θ^′(y )  . 
Тогда
(11)    f  = φ (x ) e^ik_y y  , 
и предыдущее уравнение примет вид:
(12)   λ² A^′′_y(x )  = φ² (x ) ( A_y (x )  – Φ₀ 2π k_y  )  . 

Далее мы можем еще более упростить вид волновой функции (11), если выполним калибровочное преобразование, которое, как известно, не меняет уравнений ГЛ. Делаем подстановки.
^→A = ^→~A + ∇χ ; 
 f  =  ^~f exp ( i 2eℏc  χ  )  =   ^~f exp ( i 2πΦ ₀  χ  )  . 
Положим χ = Φ₀ 2π k_y y ,  тогда
 f  = φ (x ) e^ik_y y  =  ^~f exp ( i 2πΦ ₀  χ  )  =   ^~fe^ik_y y  ,  откуда
 ^~f  = φ (x )  . 
То есть в качестве волновой функции можно взять вещественную величину, зависящую только от переменной x.

Для векторного потенциала имеем.
A_y  = ^~A_y  + Φ₀ 2π k_y  . 

Подставляем в (12) и опускаем знаки тильды.
(13)   λ² A^′′_y(x )  =  f ² (x ) A_y (x )  . 
Здесь  f (x )  – вещественная функция.

Подставим  f  =  f (x ) ,  ^→A = (0, A_y (x ) , 0 )  в первое уравнение ГЛ:
(2)   ξ² ( – i∇ – 2πΦ₀  ^→A  ) ²  f  –   f  +  f  |  f  | ²  = 0 ;
( – i∇ – 2πΦ₀  ^→A  ) ²  f  = 
 [ ( – i ∂∂x – 2πΦ₀  A_x  ) ²  +  ( – i ∂∂y – 2πΦ₀  A_y  ) ²  +  ( – i ∂∂z – 2πΦ₀  A_z  ) ²  ]  f (x )  = 
 – ( ∂∂x  ) ²  f  +  ( 0 – 2πΦ₀  A_y (x )  ) ²  f  + 0 =  –  f ^′′(x )  + ( 2πΦ₀  A_y (x )  ) ²  f (x )  ; 
(14)   – ξ²  f ^′′(x )  + ( 2πξΦ₀   ) ² A²_y (x )   f (x )  –   f (x )  +  f ³ (x )  = 0 .

Результат

Итак, для одномерного случая, когда все физические величины зависят только от координаты x, а внешнее магнитное поле направлено вдоль оси z, мы нашли следующее.
1. Безразмерная волновая функция  f  = √ b | a |     ψ является действительной функцией, зависящей только от координаты x:
(15)    f  =  f (x )  . 
2. Векторный потенциал описывается одной компонентой, зависящей от x:
(16)   ^→A = (0, A_y (x ) , 0 )  . 
Магнитное поле имеет только z компоненту, равную производной A_y (x )  по x:
(17)   ^→H = (0, 0, A^′_y(x ) )  . 
3. Уравнения Гинзбурга-Ландау имеют следующий вид.
(14)   – ξ²  f ^′′(x )  + ( 2πξΦ₀   ) ² A²_y (x )   f (x )  –   f (x )  +  f ³ (x )  = 0 ;
(13)   λ² A^′′_y(x )  =  f ² (x )  A_y (x )  . 

Граничные условия

Не ограниченный сверхпроводник

Рассмотрим граничные условия для случая бесконечно протяженного, не ограниченного поверхностями сверхпроводника, помещенного во внешнее магнитное поле H₀  .  Такой случай может быть полезен для исследования переходов между нормальной и сверхпроводящей фазами. Пусть сверхпроводящая фаза находится при x →  + ∞ ,  а нормальная, при x →  – ∞ . 

Уравнения (14), (13) второго порядка с двумя неизвестными функциями. Поэтому их решение должно содержать четыре постоянных, которые определяются из граничных условий.

1. Поскольку при x →  + ∞ имеется сверхпроводящая фаза, то  f (+ ∞ )  = 1 . Магнитное поле на бесконечности отсутствует. Поэтому A^′_y(+ ∞ )  = 0 . Из (14) следует, что при этом A_y (+ ∞ )  = 0 . Также можно считать, что равны нулю все производные этих функций на бесконечности:  f ^′(+ ∞ )  = 0,   f ^′′(+ ∞ )  = 0,  A^′′_y(+ ∞ )  = 0 , и т.д..
2. Поскольку при x →  – ∞ имеется нормальная фаза, то  f (– ∞ )  = 0 .
3. Поскольку сверхпроводник помещен во внешнее магнитное поле, то ^→H (– ∞ )  = (0, 0, H₀ )  ; 
A^′_y(– ∞ )  = H₀  . 
Отсюда
(18)   A_y  = H₀ x + C при x →  – ∞ ,  где C – постоянная.
4. Уравнения (14), (13) не содержат переменной x в явном виде. Поэтому их решения имеют вид  f  =  f (x – C ) ,  A_y  = A_y (x – C )  ,  где C – постоянная. Эту постоянную можно задать произвольным образом, зафиксировав границу перехода. Например, можно положить  f (0 )  = 1 / 2 . Или можно зафиксировать векторный потенциал, выбрав значение постоянной в (18). Например так:
A_y  = H₀ x при x →  – ∞ . 

Мы получили больше четырех граничных условий, но не все они независимы. Часть из них следуют из самих уравнений, но их удобно применять в таком виде при построении решений.

Волновая функция заключена в пределах 0 ≤  f  ≤ 1 . При x →  – ∞ ее график выпуклый вниз и имеет асимптоту  f  = 0 . При x →  + ∞ график выпуклый вверх с асимптотой  f  = 1 .

Векторный потенциал: – ∞ < A_y  ≤ 0 . Функция A_y (x )  возрастает; график выпуклый вверх и имеет асимптоты A_y  = 0 при x →  + ∞ ,  и A_y  = H₀ x + C при x →  – ∞ . 

Ограниченный сверхпроводник

Теперь рассмотрим сверхпроводник, ограниченный диэлектриком при x = 0 . Сверхпроводящая фаза располагается при x ≥ 0 . При x →  + ∞ граничные условия такие как и для неограниченного сверхпроводника:
 f (+ ∞ )  = 1,  A_y (+ ∞ )  = 0,   f ^′(+ ∞ )  = 0,  A^′_y(+ ∞ )  = 0, . . . . 

Рассмотрим условия при x = 0 . Граничные условия для безразмерной волновой функции имеют вид:
( i∇ f  + 2πΦ₀  ^→A f  )  ⋅ ^→n = 0 ,
где ^→n – вектор нормали поверхности. Подставляя сюда ^→n = (– 1, 0, 0 ) ,  ^→A = (0, A_y (x ) , 0 ) ,    f  =  f (x )  ,  находим:
(19)    f ^′(0 )  = 0 .

Положим, что намагниченность обусловлена только сверхпроводящими электронами. Тогда поле ^→H непрерывно на границе раздела. Из (17) получаем:
A^′_y(0 )  = H₀  . 

Безразмерные уравнения

Можно еще упростить уравнения, если перейти к безразмерным уравнениям, выполнив подстановки:
x = λx = √ mc² b8πe²  | a |     x ;    ψ = √  | a | b     f  ; 
H = H_c H = √ 4π a² b   H ; 
A = λH_c A = √ mc²  | a | 2e²     A . 

Тогда уравнения (14), (13) примут вид:
(14*)    f ^′′ = ϰ² [ ( A²_y 2 – 1  )  f  +  f ³  ]  ; 
(13*)   A^′′_y =  f ² A_y  . 
Здесь дифференцирование производится по безразмерной переменной x .  Граничные условия указаны выше.

Первый интеграл

Можно найти один из интегралов уравнений (14*) и (13*). Воспользуемся тем, что
(20)   d ( f ² A²_y )  = A²_y df ²  +  f ² dA²_y  =  2 fA²_y df  + 2 f ² A_y dA_y  . 
Из (14*) и (13*) имеем.
 fA²_y  = 2 f  – 2 f ³  + 2ϰ^– 2  f ^′′ ; 
 f ² A_y  = A^′′_y . 
Заметим, что
 f ^′′ = df ^′dx = df ^′df  ⋅ df dx =   f ^′ ⋅ df ^′df  = 12 df ^′ 2df   ; 
A^′′_y  = dA^′_y dx = dA^′_y dA_y  ⋅ dA_y dx =  A^′_y  ⋅ dA^′_y dA_y  = 12 dA^′ 2_y dA_y   . 
Подставим в (20).
d ( f ² A²_y )  = 2 fA²_y df  + 2 f ² A_y dA_y  =  2(2 f  – 2 f ³  + 2ϰ^– 2  f ^′′ ) df  +  2A^′′_ydA_y  = 
 4 f df  – 4 f ³  df  +  4ϰ^– 2  ⋅ 12 df ^′ 2df   df  +  dA^′ 2_y dA_y   dA_y  =  2df ²  – df ⁴  + 2ϰ^– 2  df ^′ 2 + dA^′ 2_y  ; 
d ( f ² A²_y )  =  d (2 f ²  –  f ⁴  + 2ϰ^– 2  df ^′ 2 + dA^′ 2_y )  ; 
d (2ϰ^– 2  f ^′ 2 + (2 – A²_y )  f ²  –   f ⁴  + A^′ 2_y )  = 0 .

Отсюда получаем интеграл:
2ϰ^– 2  f ^′ 2 + (2 – A²_y )  f ²  –   f ⁴  + A^′ 2_y  = C₁  . 
Если справа – сверхпроводящая фаза, то при x →  + ∞,   f  → 1,  A_y  → 0 . Тогда C₁  = 1 ;
(21)   2ϰ^– 2  f ^′ 2 + (2 – A²_y )  f ²  –   f ⁴  + A^′ 2_y  = 1 .

Использованная литература:
О.Г. Одинцов, Е.А. Пушкарев, Методические указания к решению задач по физике сверхпроводников, Харьков, ХГУ, 1989.
Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния, Москва, Физматлит, 2002.

Авторы: Олег Одинцов, Евгений Пушкарев.     Опубликовано: 05-08-2024