Уравнения Лондонов и квантование потока в сверхпроводниках

Приведены основные формулы, относящиеся к уравнениям Лондонов и квантованию магнитного потока в сверхпроводниках. Рассмотрены шесть задач. В их числе: квантование потока и магнитное поле в тонкой сверхпроводящей трубке; распределение магнитного поля и сверхпроводящего тока в пластине и цилиндре.

Основные формулы

Примечание. Под полем ^→H здесь и далее подразумевается истинное микроскопическое магнитное поле.

Представив волновую функцию сверхпроводящих электронов в виде
ψ (r )  = √ n_s  / 2   e^iθ 
в выражении для плотности потока частиц в магнитном поле
(2.1)   j = ieℏm [ (∇ψ^* ) ψ – ψ^* ∇ψ  ]  –  2e² mc ^→A ψ^* ψ
и воспользовавшись тем, что
j = 2e n_s 2 ^→v
(n_s  – плотность сверхпроводящих электронов, n_s  / 2 – плотность куперовских пар, θ – фаза волновой функции, ^→A – векторный потенциал), получим часто используемое соотношение
(2.2)   ℏ∇θ = 2m^→v_s  + 2ec ^→A , 
с помощью которого можно показать, что поток квантуется. Квант потока определяется формулой
(2.3)   Φ₀  = πℏce = 2,07 ⋅ 10^– 7  Гс·см².

Уравнения Лондонов позволяют получить распределение полей и токов в сверхпроводниках первого рода.

Первое уравнение Лондонов – уравнение движения электронов
(2.4)   n_s m d^→v_s dt = n_s e^→E
можно переписать в виде
(2.4*)   ^→E = ddt ( Λ^→j_s  )  , 
где ^→j_s  – плотность сверхпроводящего тока, Λ = mn_s e²   . 

Второе уравнение Лондонов получается из минимизации функционала
(2.5)   F_SH  = F_S0  +  18π ∫ [ H²  + λ² (rot H ) ²  ]  dV
(представляющего собой сумму энергий сверхпроводника в отсутствии магнитного поля F_S0  ,  энергии магнитного поля и кинетической энергии сверхпроводящих электронов) и имеет вид
^→H + λ² rot rot ^→H = 0 ,
где
λ²  = mc² 4πn_s e²   . 
Полагая, ÷ ^→H = 0 , второе уравнение Лондонов примет вид:
(2.6)   ^→H – λ² Δ^→H = 0 .

Укажем также соотношение, связывающее плотность сверхпроводящего тока с векторным потенциалом:
(2.7)   ^→j_s  = – c4πλ^{2   →}A . 

Задача 2.1

В массивном сверхпроводнике имеется отверстие диаметром 0,1 мм, в котором захвачено 7 квантов магнитного потока. Определить напряженность магнитного поля в отверстии.

Решение

Поток магнитного поля Φ = HS ,  где S = πr²  – площадь отверстия. По условию задачи Φ = 7Φ₀  .  Поэтому окончательно имеем:
H = Φπr²  = 7Φ₀ πr²   . 
Подставляя значение Φ₀  из (2.3), r = 0,005 см, получим H = 1,84 ⋅ 10^– 2  э.

Задача 2.2

В массивном сверхпроводнике имеется цилиндрическое отверстие диаметром 2 см. В нем захвачено магнитное поле с напряженностью H = 300 э. Найти величину векторного потенциала A на расстоянии R = 2 см от центра отверстия. Найти градиент фазы ∇θ на этом же расстоянии R . 

Решение

Выразим магнитный поток Φ через векторный потенциал A (применяя теорему Стокса):
Φ = ∫ ^→H d^→S = ∫ rot^→A d^→S = ∮ ^→A d^→l . 
Интегрируя по окружности на расстоянии R от центра отверстия, найдем
Φ = Hπr²₀  = A2πR , 
где r₀  = 1 см – радиус отверстия в сверхпроводнике, а векторный потенциал
A = Hr²₀  / (2R )  = 75 э·см.

Для определения градиента фазы ∇θ воспользуемся уравнением на собственные значения импульса (2.2) и проинтегрируем его по контуру, представляющему собой окружность радиуса R .  Учитывая, что ^→v_s | _r = R  = 0 , имеем:
ℏ ∫ ∇θ d^→l = 2ec ∫ ^→A d^→l , 
откуда
∇θ = 2ecℏ A = 2πAΦ₀  = 2,275 ⋅ 10⁹  рад/см.

Задача 2.3. Квантование потока в тонкой сверхпроводящей трубке

Тонкая сверхпроводящая пленка толщины d ≪ λ нанесена на поверхность диэлектрической нити. Радиус сечения нити R. Нить внесена в продольное магнитное поле при комнатной температуре, затем температура нити опущена ниже T_c  .  После этого внешнее магнитное поле выключается. Как квантуется магнитный поток, захваченный нитью с пленкой?

Решение

Перепишем уравнение (2.2), воспользовавшись тем, что плотность потока ^→j = n_s e^→v  : 
ℏ∇θ = 2mn_s e ^→j + 2ec ^→A . 
Так как d ≪ λ ,  то ток будет однородно распределен по толщине пленки. Проинтегрируем это уравнение по контуру, изображенному на рис. 2.1,
(2.9)   ℏ ∮ ∇θ d^→l =  2mn_s e ∮ ^→j d^→l + 2ec ∮ ^→A d^→l . 

Раскрываем интегралы
∮ ∇θ d^→l = ∮ dθdl  dl = Δθ . 
Здесь Δθ – разность фаз, набегающая при обходе контура. Для того чтобы волновая функция ψ = √ n_s 2   e^iθ  была однозначной, необходимо выполнить условие Δθ = 2πn ,  где n – целое число.

Во втором интеграле воспользуемся уравнением Максвелла для определения j:
^→j = c4π rot^→H ; 
(2.10)   ∫ ^→j d^→S = c4π ∮ ^→H d^→l . 
Проинтегрируем это выражение по площадке a × d ,  ограниченной контуром, изображенном на рис. 2.2. Получим
jad = c4π Ha ,  откуда
j = cH4πd  . 
Теперь вычисляем второй интеграл уравнения (2.9)
∮ ^→j d^→l = 2πRcH4πd = cRH2d = cΦ2πRd  , 
где использовано соотношение Φ = πR² H . 
Третий интеграл равен потоку Φ  : 
∮ ^→A d^→l = ∫ rot^→A d^→S = ∫ ^→H d^→S = Φ . 
Таким образом, получим
2πnℏ = 2mn_s e ⋅ cΦ2πRd + 2ec Φ =  2ec ( 1 + mc² 2πn_s e² Rd  ) Φ , 
откуда
Φ = n πcℏe ⋅ 11 + mc² 2πn_s e² Rd  =  nΦ₀ 1 + mc² 2πn_s e² Rd   . 

Задача 2.4. Магнитное поле тонкой сверхпроводящей трубки

Найти распределение магнитного поля в условиях задачи 2.3.

Решение

Вне нити магнитное поле H = 0 . Для определения поля внутри нити воспользуемся уравнением Максвелла
4πc ∫ ^→j d^→S = ∮ ^→H d^→l . 

Интегрируя по контуру C₁ (рис 2.3), получим
4πc jad = aH₀  . 
Интегралы по перпендикулярным к поверхности участкам контура равны нулю. Следовательно, внутри нити поле постоянно
H₀  = 4πc jd . 

Для определения поля в пленке проинтегрируем по контуру C₂: 4πc jS = aH .  Вводим расстояние r от центра нити. Площадь, ограниченная контуром: S = a (R + d – r )  .  Тогда
4πc ja (R + d – r )  = aH ; 
H = 4πc j (R + d – r )  =  4πc jd ( 1 + R – rd  )  ; 
H = H₀ ( 1 – r – Rd  )  . 
График H (r )  дан на рис. 2.4.

Задача 2.5. Магнитное поле и ток в сверхпроводящей пластине

Найти распределение магнитного поля и ток в сверхпроводящей пластине толщиной d, которую поместили в магнитное поле ^→H₀  . 

Решение

Уравнение Лондонов (2.6) Δ^→H = 1λ^2  →H
сводится в данном случае к одномерному уравнению
d² H_z dx²  = 1λ²  H_z  , 
которое имеет решение
H_z  = C₁ ch xλ + C₂ sh xλ  . 
Константы C₁  и C₂  определяем из граничных условий.
H ( d2  )  = H ( – d2  )  =  C₁ ch d2λ + C₂ sh d2λ =  C₁ ch d2λ – C₂ sh d2λ = H₀  , 
откуда C₁  = H₀ ch (d / 2λ )  ,  C₂  = 0 . Таким образом
H_z  = H₀ ch (x / λ )  / ch (d / 2λ )  . 

Сверхпроводящий ток определяем из уравнения Максвелла ^→j = c4π rot^→H ,  откуда
j_y  = – c4π ∂H_z ∂x = – c4π H₀ λ sh xλ ch d2λ   . 

Задача 2.6. Магнитное поле и ток сверхпроводящего цилиндра

Найти распределение магнитного поля и токов в сверхпроводящем цилиндре радиуса R, помещенного в однородное магнитное поле ^→H₀  (^→H₀  параллельно оси цилиндра).

Решение

Выбираем цилиндрическую систему координат. В силу симметрии все величины могут зависеть лишь от координаты r .  Уравнение Лондонов (2.6) для z компоненты в этом случае примет вид
(Δ^→H ) _z  = ΔH_z  =  1r ∂∂r ( r ∂H_z ∂r  )  = 1λ²  H_z  , 
или
r² H^′′_z  + rH^′_z  – r² λ²  H_z  = 0 .
Этому дифференциальному уравнению удовлетворяют цилиндрические функции нулевого порядка мнимого аргумента. Общее решение можно записать в виде
H_z  = C₁ I₀ ( rλ  )  + C₂ K₀ ( rλ  )  . 
Учитывая, что H_z  → const при r → 0 , получим C₂  = 0 . Константу C₁  определяем из граничных условий
H_z (R )  = C₁ I₀ ( Rλ  )  = H₀  , 
откуда
H_z  = H₀ I₀ ( rλ  ) I₀ ( Rλ  )   . 

Распределение токов можно определить из φ компоненты уравнения:
j_φ  = c4π (rot^→H ) _φ  = – c4π ∂H_z ∂r =  – cH₀ 4πλ I^′₀ ( rλ  ) I₀ ( Rλ  )   . 
Воспользовавшись рекуррентным соотношением
I_λ – 1 (z )  + I_λ + 1 (z )  = 2I^′_λ (z )  , 
а также свойством I_– n (z )  = I_n (z )  ,  при целом n ,  получим
j_φ  = – cH₀ 4πλ I₁ ( rλ  ) I₀ ( Rλ  )   . 

Далее Уравнения Гинзбурга - Ландау

Оригинал