Определение функции распределения сверхтонкого магнитного поля по спектрам ядерного гамма резонанса

Для изучения свойств ферромагнитных материалов большой интерес представляет распределение сверхтонких магнитных полей. В данной работе предложен метод численного определения функции распределения, который приводит к повышению скорости расчетов и уменьшению занимаемой оперативной памяти ЭВМ, по сравнению с методами, применяемыми ранее.

В случае сильно концентрированных в не упорядоченных (аморфных) структур имеется большое число неэквивалентных положений резонансных ядер, что делает удобным интерпретацию результатов месбауэровского эксперимента в терминах Функции распределения сверхтонкого магнитного поля Р(Н). Известны два метода определения Р(Н) с помощью расчетов на ЭВМ [1, 2]. Для реализации первого из них необходим небольшой объем памяти, в то время как второй характеризуется значительно меньшим счетным временем ЭВМ. Предлагаемый в настоящей работе метод обладает преимуществами каждого из них, что особенно удобно при вычислении погрешностей и устранении нефизических отрицательных вероятностей.

Значения интенсивностей прошедшего излучения n (v_i )  в зависимости от скорости v_i  определяется выражением
(1)   n (v_i )  =  n (∞ )  – ^∞∫₀ P (H )   f (H,  v_i )  dH , 
где n (∞ )  – интенсивность фонового излучения, а при использовании в качестве мессбауэровского ядра изотопа Fe⁵⁷
(2)    f (H,  v_i )  =  ⁶Σ_k = 1 ρ_k (v_i  – δ – g_k H ) ²  + Γ²   . 
Здесь δ – изомерный сдвиг, ρ_k ,  g_k  – весовые и полевые коэффициенты соответственно, Γ – естественная ширина линии.

Интегральное уравнение (1) относится к классу некорректных задач. Общий метод решения состоит в том, что функцию Р(Н) разлагают в ряд по полной системе функций, оставляя первые m членов разложения:
(3)   P (H )  = ^mΣ_l = 1 C_l P_l (H )  , 
где C_l  – коэффициенты разложения, подлежащие определению. Подставляя ряд (3) в (1), имеем
n (v_i )  = n (∞ )  –  ^mΣ_l = 1 C_l ^∞∫₀ P_l (H )   f (H,  v_i )  dH . 
Поскольку n (∞ )  – подлежащая определению постоянная, то ее удобно обозначить через C_m + 1  ,  а выражение n (v_i )  примет вид
(4)   n (v_i )  = ^m + 1Σ_l = 1 C_l L_li  , 
где введены обозначения:
(5)   L_li  = – ^∞∫₀ P_l (H )   f (H,  v_i )  dH;   L_m + 1,l  = 1 .
Для определения коэффициентов C_l  ,  необходимо отыскать минимум функционала [3]:
(6)   M = γ ^∞∫₀ ( d² P (H ) dH²   ) ² dH +  Σ_i (N (v_i )  – n (v_i ) ) ²  , 
где N (v_i )  – значения экспериментальных интенсивностей, измеренных при скорости источника v_i  ;  γ – параметр регуляризации, подбираемый по невязке
(7)   Σ_i (N (v_i )  – n (v_i ) ) ²  = Σ_i σ²_i 
(σ_i — дисперсия для экспериментальных точек при скорости источника).

К функциям P_l (H )  предъявляют следующие требования: во-первых, ряд (3) должен по возможности быстро сходиться, что уменьшает объем работы ЭВМ, а, во-вторых, вычисление интегралов (5) должно занимать по возможности малое время.

В работе [1] предлагается использовать тригонометрические функции. Хотя ряд (3) имеет хорошую сходимость (10 ≤ m ≤ 40), но интегралы (5) не выражаются через известные функции и требуется численное интегрирование, что сильно увеличивает время решения. В работе [2] поле H в пределах от нуля до H_max разбивается на N равных частей. P_l (H )  представляет собой «ступеньку», которая равна нулю при H ≤ H_l  и H ≥ H_l + 1  и равна единице в промежутке между H_l  и H_l + 1  .  Интегралы (5) вычисляются элементарно, но ряд (3) сходится плохо, так что m ≈ 100 , и решение P(H) получается разрывным.

В настоящей работе предлагается модернизировать метод [2] с тем, чтобы получить непрерывную функцию P(H) и улучшить сходимость ряда (3). Этого можно достичь, если в качестве P_l(H) выбирать функции, определяемые из выражений
P_l (H )  = (H – H_l – 1 )  / (H_l  – H_l – 1 )  при  H_l – 1  ≤ H ≤ H_l  ; 
P_l (H )  = – (H – H_l – 1 )  / (H_l + 1  – H_l )  при  H_l  ≤ H ≤ H_l + 1  ; 
P_l (H )  = 0 при  H ≤ H_l – 1 ,  H_l + 1  ≤ H . 
Решение P(H) имеет вид трапеций (см. рисунок). Интегралы (5) вычисляются элементарно и равны:
L_li  =  – [( 1 + H_l H_l + 1  – H_l   )  ⋅  ^H_l + 1∫_Hl  f (H, v_i )  dH –  H_l – 1 H_l  – H_l – 1  ^H_l∫_Hl – 1  f (H, v_i )  dH + 
 1H_l  – H_l – 1  ^H_l∫_Hl – 1 Hf (H, v_i )  dH –  1H_l + 1  – H_l  ^H_l + 1∫_Hl Hf (H, v_i )  dH  ]  , 
^H_l + 1∫_Hl  f (H, v_i )  dH =  ⁶Σ_k = 1 β_k g_k Γ ( arctg g_k H_l + 1  – v_i  + δΓ –  arctg g_k H_l  – v_i  + δΓ  )  , 
^H_l + 1∫_Hl Hf (H, v_i )  dH =  ⁶Σ_k = 1 β_k 2g²_k  ln (g_k H_l + 1  – v_i  + δ ) ²  + Γ² (g_k H_l  – v_i  + δ ) ²  + Γ²  + 
 (v_i  – δ )  ⋅  ⁶Σ_k = 1 β_k Γg²_k  ( arctg g_k H_l + 1  – v_i  + δΓ –  arctg g_k H_l  – v_i  + δΓ  )  . 

Анализ сходимости ряда (3) показывает (сравнивалось отклонение аппроксимации от точного решения в метрике С), что по сравнению с [2] количество разбиений по Н можно уменьшить в 2–4 раза. При этом понадобится в 2–4 раза меньше память ЭВМ и меньше машинного времени. В качество примера на рисунке представлен результат восстановления функции P(H) из экспериментальных спектров поглощения сплава на основе системы железо – хром. Из вида этой Функции можно сделать вывод о том, что структура сплава представляет собой α – твердый раствор с величиной сверхтонкого магнитного поля H = 12,7 МА/м. Асимметричный характер P(H) свидетельствует о расслоении α – твердого раствора, т. е. наличие в нем областей, обогащенных хромом (H<8 МА/М). Кроме того, увеличение Р(Н) при H=0 и H=26,5 МА/м свидетельствует о выделении в сплаве парамагнитной и богатой железом фаз соответственно.

Список литературы
1. Window B. Hyperfine field distributions from Mossbauer spectra // Journal of Physics E, 1971. 4. P. 401–402.
2. Hesse J., Rubartsch A. Model independent evaluation of overlapped Mossbauer spectra // Journal of Physics E, 1974. 7. P. 526–532.
3. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 120 с.

Поступила в редколлегию 18.03.88

Авторы: А. И. Великодный, О. Г. Одинцов, Е. А. Пушкарев.
Определение функции распределения сверхтонкого магнитного поля по спектрам ядерного гамма-резонанса.
Проблемы ядерной физики и космических лучей, № 31, 1989 г.

Оригинал