Термодинамические соотношения для сверхпроводников

Рассмотрены шесть задач по теме “Термодинамические соотношения для сверхпроводников”. При их решении используется зависимость свободной энергии сверхпроводящего состояния от величины критического магнитного поля и эмпирическая формула зависимости критического магнитного поля от температуры.

Основные формулы

Свободная энергия сверхпроводящего состояния F_S  ниже свободной энергии нормального состояния F_N  на величину
(1.1)   F_N  – F_S  = H²_c 8π  , 
где H_c  – критическое магнитное поле.

Зависимость критического магнитного поля от температуры достаточно точно описывается эмпирической формулой
(1.2)   H_c (T )  = H_c (0 ) [ 1 – ( TT_c   ) ²  ]  . 
Значения H_c (0 )  и T_c  для различных элементов приводятся в табл. 1.1. Для решения приведенных ниже задач необходимо применить некоторые термодинамические соотношения.

Задача 1.1

Какой ток течет по плоской поверхности свинца в полосе шириной 1 см, если образец находится в критическом поле при температуре 4,2 К?

Решение

Зависимость критического магнитного поля от температуры выражена формулой (1.2). Подставляя значения T_c  и H_c (0 )  из табл. 1.1, для свинца получим H_c (4,2 )  = 529,5 э.

Рассмотрим контур 1–2–3–4–1 на рис. 1.1, и возьмем циркуляцию ∮ ^→Bd^→l вектора ^→B по этому контуру. На участке 1–2, который параллелен поверхности сверхпроводника, ∫₁ 2^→Bd^→l = H₀ l₁₂  ,  где l₁₂  – длина участка 1–2. Вклад от участков 2–3 и 1–4 равен нулю, так как из соображений симметрии можно утверждать, что вектор ^→B на этих участках ортогонален пути интегрирования. Вклад участка 3–4 также нулевой, поскольку ^→B = 0 внутри сверхпроводника. Итак, ∮ ^→Bd^→l = H₀ l₁₂  .  Но согласно уравнению Максвелла
∮ ^→Bd^→l = 4πc I , 
где I – полный ток, протекающий через поверхность, ограниченную контуром 1–2–3–4–1. Отсюда следует, что перпендикулярно плоскости чертежа в направлении “от нас” (так, как показано на рис. 1.1) по поверхности сверхпроводника течет поверхностный ток, величина которого
I = c4π H_c (4,2 )  ⋅ l , 
откуда I = 422 А/см.

Задача 1.2

На сколько понизится свободная энергия 1 см³ свинца при его переходе в сверхпроводящее состояние? Переход происходит в магнитном поле при температуре 4,2 К.

Решение

Разность между свободной энергией нормального F_N  и сверхпроводящего F_S  состояний определяется по формуле (1.1). Используя данные H_c (4,2 )  = 529,5 э из задачи 1.1 найдем
F_N  – F_S  = 1,1 ⋅ 10⁴  эрг/см³.

Задача 1.3

Какое количество теплоты выделится при переходе 1 см³ свинца в сверхпроводящее состояние, если переход происходит в магнитном поле при температуре 4,2 К?

Решение

Учитывая, что энтропия (на единицу объема) нормальной S_N  и сверхпроводящей S_S  фаз определяется формулами
S_N  = – ∂F_N ∂T ,  S_S  = – ∂F_S ∂T  , 
можем определить количество выделившегося тепла Q из соотношения:
Q = T (S_N  – S_S )  =  – T ∂∂T (F_N  – F_S )  . 
Используя выражения (1.1) и (1.2), получаем:
S_N  – S_S  = – ∂∂T [ H²_c (T ) 8π  ]  =  – H²_c (0 ) 8π ∂∂T [ 1 – ( TT_c   ) ²  ] ²  = 
 – H²_c (0 ) 8π ⋅ 2[ 1 – ( TT_c   ) ²  ]  ⋅  ( – 2 TT_c   ) 1T_c   . 
Таким образом,
(1.3)   S_N  – S_S  =  H²_c (0 ) 2π [ 1 – ( TT_c   ) ²  ] TT²_c   , 
откуда
Q = H²_c (0 ) 2π [ 1 – ( TT_c   ) ²  ] ( TT_c   ) ²  . 

Подставив значения, получим Q = 2,3 ⋅ 10⁴  эрг.

Задача 1.4

Найти температуру, при которой у свинца теплоемкости нормальной C_N  и сверхпроводящей C_S  фаз оказываются равными.

Решение

По определению теплоемкости C_N  – C_S  = T ∂∂T (S_N  – S_S )  ;  используя формулу (1.3), имеем
∂(S_N  – S_S ) ∂T =  H²_c (0 ) 2πT²_c  [ 1 – 3( TT_c   ) ²  ]  . 
Согласно условию задачи C_N  = C_S  или
∂(S_N  – S_S ) ∂T =  H²_c (0 ) 2πT²_c  [ 1 – 3( TT_c   ) ²  ]  = 0 ,
а это равенство выполняется только при двух значениях температуры: T = 0 и T = T_c  / √ 3  = 4,155 К. Следовательно, искомая температура равна 4,115 К.

Задача 1.5

Найти критическое термодинамическое магнитное поле олова при температуре 3 К.

Решение

Подставляя данные для H_c (0 )  и T_c  в формулу (1.2), получим H_c (T )  = 106,852 э.

Задача 1.6

Найти скачек теплоемкости единицы объема свинца при критической температуре.

Решение

Используя формулу, определяющую разность теплоемкостей нормального и сверхпроводящего состояний, полученную в задаче 1.4, имеем
C_S  – C_N  =  H²_c (0 ) 2πT²_c  T [ 3( TT_c   ) ²  – 1  ]  | _T = Tc  =  H²_c (0 ) πT_c   . 
Таким образом,
C_S  – C_N  = 2,85 ⋅ 10⁴  эрг/см³ К.

Далее Квантование потока и уравнения Лондонов

Оригинал