Совместное восстановление функции распределения квадрупольного расщепления и зависимости изомерного сдвига по данным мессбауэровских спектров

Журнал вычислительной математики и математической физики Том 30 №9 (отдельный оттиск).

Показано, что для несимметричных мессбауэровских спектров, представляющих собой суперпозицию дублетов, при определенных условиях можно восстановить функцию распределения квадрупольного расщепления и определить зависимость изомерного сдвига как функции поля.

Содержание

§1. Введение

При интерпретации мессбауэровских спектров непрерывными методами важное значение имеет восстановление функции распределения сверхтонких полей на резонансных ядрах. С математической точки зрения, речь идет о решении интегрального уравнения [1]
(1.1) y (x ) = ^∞∫₀ p (t ) f (x, t ) dt
с ядром
(1.2) f (x, t ) = Γπ ^mΣ_j = 1 α_j [x – g_j t – s (t ) ] ² + Γ² ,
где α_j , g_j – соответственно, весовые и полевые коэффициенты, s (t ) – изомерный сдвиг как функция от поля. Функция y (x ) может быть однозначным образом представлена в виде свертки [2], [3]
(1.3) y (x ) = ^∞∫_– ∞ K (x – t ) z (t ) dt
с ядром
K (t ) = Γπ (t² + Γ² ) ,
где z (t ) – положительно определенная функция.

При известной зависимости s (t ) уравнение (1.1) является линейным интегральным уравнением Фредгольма I рода. Для его решения применяется метод регуляризации [4]. Однако на практике зависимость изомерного сдвига от поля не известна. В настоящей работе строится решение p (t ) и s (t ) для случая чисто квадрупольного расщепления (m = 2, α₁ = α₂ = 1 / 2, g₁ = – g₂ = 1 / 2 ) .

§2. Построение решения

Исходное интегральное уравнение можно преобразовать, получив более простое, поскольку
Γπ {[x – g_j t – s (t ) ] ² + Γ² } = ^∞∫₀ K (x – t^′ ) δ [t^′ – g_j t – s (t ) ] dt^′ .
Здесь δ (x ) – функция Дирака. Подставляя это выражение, а также (1.3) в (1.1), (1.2), получаем
^∞∫_– ∞ K (x – t^′ ) {z (t^′ ) – ²Σ_j = 1 ^∞∫₀ δ [t^′ – g_j t – s (t ) ] p (t ) } dt = 0 .
Воспользовавшись единственностью решения этого уравнения, приходим к более простому уравнению
(2.1) z (x ) = 12 ^∞∫₀ p (t ) δ [ x – t2 – s (t ) ] dt + 12 ^∞∫₀ p (t ) δ [ x + t2 – s (t ) ] dt .

Введем функции t₁ и t₂ переменной x из соотношений
x – t₁ / 2 – s (t₁ ) = 0, x + t₂ / 2 – s (t₂ ) = 0 .
Нетрудно видеть, что для их однозначного определения нужно считать выполненными условия
(2.2) – 1 / 2 < ds / dt < 1 / 2 .
Вместе с функциями t₁ и t₂ введем в рассмотрение обратные функции x₁ и x₂ из соотношений
(2.3) x₁ (t ) – t / 2 – s (t ) = 0, x₂ (t ) + t / 2 – s (t ) = 0 .
Функция x₁ возрастающая, а x₂ убывающая, так как, согласно (2.3),
(2.4) dx₁ / dt = 1 / 2 + ds / dt > 0, dx₂ / dt = – (1 / 2 – ds / dt ) < 0 .
Разность уравнений (2.3) дает
(2.5) x₁ – x₂ = t .
Будем считать, что функции x₁ и x₂ определены при t ≥ 0 ; тогда x₁ (t ) ≥ x₂ (t ) . При t = 0 , согласно (2.5), x₁ (0 ) = x₂ (0 ) = x₀ и из (2.4) следует, что
x₁ (t ) ≥ x₀ , x₂ (t ) ≤ x₀ .
Производя интегрирование в (2.1), получаем

z (x ) = {

12 p (t₁ ) dt₁ dx	при x ≥ x₀ ,
– 12 p (t₂ ) dt₂ dx	при x ≤ x₀ ,

откуда имеем
(2.6) 12 p (t ) = z (x₁ ) dx₁ dt = – z (x₂ ) dx₂ dt .
Подставляя в правую часть равенства x₂ = x₁ – t (см. (2.5)), приходим к дифференциальному уравнению первого порядка для функции x₁ :
(2.7) dx₁ dt = z (x₁ – t ) z (x₁ ) + z (x₁ – t ) .
Если проинтегрировать второе уравнение в (2.6) по t от t^′ до бесконечности и заменить в окончательном результате t^′ на t , получим уравнение для функции x₁ (t ) в другой форме:
(2.8) ^∞∫_x₁ z (x ) dx = ^{x₁ – t}∫_– ∞ z (x ) dx .
При t = 0 оно дает начальное значение x₁ (0 ) уравнения (2.7). Определив функцию x₁ (t ) по формулам (2.3), (2.5), (2.6), найдем p (t ) и s (t ) . Отметим, что (2.8) имеет решение, если сходится интеграл
^∞∫₀ [z (x ) – z (– x ) ] dx .

§3. Устойчивость решения

Решение, определяемое из (2.8), неустойчиво относительно неточности в определении z (x ) . Пусть w (x ) – приближенная к z (x ) функция, так что
(3.1) | w (x ) – z (x ) | ≤ δ ∀x .
В качестве приближенного решения уравнения (2.8) возьмем функцию r (t ) , определяемую из
(3.2) ^A∫_r w (x ) dx = ^r – t∫_– A w (x ) dx .
Параметр A определяем таким образом, чтобы было
(3.3) w (x ) ≤ 2δ ∀ | x | ≥ A, w (A ) = 2δ либо w (– A ) = 2δ .

Верна следующая

Теорема

Пусть r (t ) – приближенное решение уравнения (2.8), причем
z (x ) – непрерывная положительная функция на всей вещественной оси и
при | x | → ∞
(3.4) z (x ) ≤ α / | x | ⁿ , n > 1, α > 0 .
Пусть t₀ – произвольное фиксированное положительное число.
Тогда если на всей вещественной оси w (x ) → z (x ) равномерно,
то r (t ) → x₁ (t ) равномерно на сегменте 0 ≤ t ≤ t₀ .

Доказательство

Беря разность уравнений (2.8) и (3.2) и учитывая (3.1), находим
|^{x₁ – t}∫_r – t w (x ) dx + ^x₁∫_r w (x ) dx | =
|^A∫_x₁ [z (x ) – w (x ) ] dx – ^{x₁ – t}∫_– A [z (x ) – w (x ) ] dx + ^∞∫_A [z (x ) – z (– x ) ] dx | ≤
|^A∫_x₁ [z (x ) – w (x ) ] dx – ^{x₁ – t}∫_– A [z (x ) – w (x ) ] dx | + |^∞∫_A z (x ) dx | + |^– A∫_– ∞ z (x ) dx | ≤
2Aδ + 2αn – 1 1A^n – 1 .
Далее, по условию (3.3),
2δ = w (± A ) = w (± A ) – z (± A ) + z (± A ) ≤
| w (± A ) – z (± A ) | + z (± A ) ≤ δ + α / Aⁿ ,
или
(3.5) A ≤ (α / δ ) ^1 / n .
Теперь покажем, что
(3.6) lim_δ → 0 A (δ ) = ∞ .
Допустим противное: пусть существует такое A₀ и последовательность δ_m → 0 при m → ∞ , что A (δ_m ) ≤ A₀ . Тогда w (x ) ≤ 2δ_m для всех | x | ≥ A₀ . Устремляя m к бесконечности, получаем z (x ) = 0 для | x | ≥ A₀ , что противоречит условию теоремы. Таким образом, учитывая (3.5) и (3.6), получаем
|^{x₁ – t}∫_r – t w (x ) dx + ^x₁∫_r w (x ) dx | = |^x₁∫_r [w (x ) + w (x – t ) ] dx | ≤
2α^1 / n δ^{1 – 1 / n} + 2αn – 1 1A^n – 1 → 0, δ → 0 .
В то же время, вводя обозначения z^′(x ) = z (x ) + z (x – t ) и w^′(x ) = w (x ) + w (x – t ) , получаем
(3.7) lim_δ → 0 ^x₁∫_r w^′(x ) dx = 0 .

Допустим, что для t ≤ t₀ отсутствует равномерная сходимость r (t ) к x₁ (t ) , т. е. для любого δ₁ существует такое t : 0 ≤ t ≤ t₀ и a > 0 , что при
(3.8) |^r (t )∫_{x₁ (t )} w^′(x ) dx | ≤ δ₁ , | r (t ) – x₁ (t ) | ≥ a
имеем
^r∫_x₁ w^′(x ) dx ≥ ^{x₁ + a}∫_x₁ w^′(x ) dx ≥ ^{x₁ + a}∫_x₁ (z^′(x ) – 2δ ) dx = ^{x₁ + a}∫_x₁ z^′(x ) dx – 2δa .
При переходе от первого неравенства ко второму предполагалось, что выбором δ , учитывая (3.4), функцию w (x ) , а с нею и w^′(x ) всегда можно сделать положительными. Пусть минимальное значение z^′(x ) на сегменте x₁ (t₀ ) – t₀ ≤ x ≤ x₁ (t₀ ) есть 2m . Ввиду непрерывности z (x ) существует такое Δ > 0 , что z^′(x^′ ) ≥ m при x₁ (t₀ ) – t₀ – Δ ≤ x^′ ≤ x₁ (t₀ ) + Δ . Уменьшим Δ , если потребуется, чтобы было Δ ≤ a ; тогда
|^{x₁ + a}∫_x₁ z^′(x ) dx | ≥ |^{x₁ + Δ}∫_x₁ z^′(x ) dx | ≥ mΔ ,
или
^r (t )∫_{x₁ (t )} w^′(x ) dx ≥ mΔ – 2δa .
И, устремляя δ к нулю, получаем, что
^r (t )∫_{x₁ (t )} w^′(x ) dx = mΔ ≠ 0 .
Однако это противоречит (3.8), так как, устремляя δ к нулю, из (3.7) получаем, что δ₁ также стремится к нулю. Теорема доказана.

Список литературы
1. Литвинов В. С., Каракишев С. Д., Овчинников В. В. Ядерная гамма-резонансная спектроскопия сплавов. М.: Металлургия, 1982.
2. Шпинель В. С. Резонанс гамма лучей в кристаллах. М.: Наука, 1969.
3. Николаев В. И., Русаков В. С. Мессбауэровские исследования ферритов. М.: Изд-во МГУ, 1985.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 16.06.89
Переработанный вариант 19.12.89

Авторы: О. Г. Одинцов, Е. А. Пушкарев.
Журнал вычислительной математики и математической физики, том 30, № 9, 1990 г.

Оригинал