Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Рассмотрен метод решения дифференциального уравнения высшего порядка, не содержащего переменную x в явном виде. Такое уравнение сводится к уравнению более низкого порядка с помощью подстановки. Дан подробный пример решения такого уравнения.

 

Рассмотрим уравнение, не содержащее переменную в явном виде:

(1)   f(y,~y prime,~y prime prime,~y prime prime prime,~...,~y^(n)~)~=~0

Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:

y prime~=~u

Далее считаем, что функция u зависит от переменной y, тогда:

y prime prime~=~(y prime) prime~=~u prime~=~du/dx~=~du/dy~dy/dx~=~y prime~du/dy~=~u~du/dy

y prime prime prime~=~(y prime prime) prime~=~{dy prime prime}/dx~=~{dy prime prime}/dy dy/dx~=~u~{dy prime prime}/dy ~=~u~d/dy (u~du/dy) ~=~

~=~u^2 ~ {d^2 u}/{dy^2}~+~u(du/dy)^2

и т. д.

В результате такой подстановки, порядок уравнения понижается на единицу.

Пример

Решить уравнение:
2yy prime prime ~+~{y prime}^2~+~{y prime}^4 ~=~0

Решение

Делаем подстановку:

y prime ~=~u

Считаем, что функция u зависит от переменной y:

y prime prime~=~(y prime) prime~=~u prime~=~du/dx~=~du/dy~dy/dx~=~y prime~du/dy~=~u~du/dy

Подставляем:

2yu~du/dy ~+~u^2~+~u^4 ~=~0

Делим на u:

2y~du/dy ~+~u~+~u^3 ~=~0

Это уравнение с разделяющимися переменными. Делим на u + u3 = u(1 + u2), умножаем на dy. При u ≠ 0 имеем:

2~ du/{u(u^2+1)} ~+~dy/y ~=~0

Интегрируем:

(2)   2~ int{~}{~}{du/{u(u^2+1)}} ~+~int{~}{~}{dy/y} ~=~minus ln C_1

Вычисляем интегралы:

1/{u(u^2+1)} ~=~{u^2+1 minus u^2}/{u(u^2+1)} ~=~1/u ~minus~ u/{u^2+1}

int{~}{~}{du/{u(u^2+1)}} ~=~int{~}{~}{du/u} ~minus~ int{~}{~}{udu/(u^2+1}}~=~ln delim{|}{u}{|}~minus~ 1/2 int{~}{~}{{d(u^2+1)}/(u^2+1}}~=~

~=~ln delim{|}{u}{|}~minus~ 1/2 ln(u^2+1)

int{~}{~}{dy/y} ~=~ln delim{|}{y}{|}

Подставляем в (2):

2~ln delim{|}{u}{|}~minus~ ln(u^2+1)~+~ln delim{|}{y}{|}~=~minus ln C_1

Потенцируем (знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в C1):

{u^2~y}/{u^2+1}~=~1/C_1

Преобразуем:

u^2~C_1~y~=~u^2+1

u^2~(C_1~y~minus~1)~=~1

u^2~=~1/(C_1~y~minus~1)

dy/dx~=~u~=~pm~1/sqrt(C_1~y~minus~1)

Разделяем переменные:

sqrt(C_1~y~minus~1)~dy~=~pm~dx

Интегрируем:

(3)   int{~}{~}{sqrt(C_1~y~minus~1)~~~dy}~=~pm~int{~}{~}{dx^{~}}~=~pm~(x~+~C_2)

Вычисляем интеграл:

int{~}{~}{sqrt(C_1~y~minus~1)~~~dy}~=~1/C_1~dot~int{~}{~}{(C_1~y minus 1)^{1/2}~d(C_1 y minus 1)}~=~

~=~1/C_1~dot~1/{1/2 +1}~(C_1~y ~minus~ 1)^{1/2 +1}~=~2/{3C_1}~(C_1~y ~minus~ 1)^{3/2}

Подставляем в (3):

2/{3C_1}~(C_1~y ~minus~ 1)^{3/2}~=~pm~(x~+~C_2)

Постоянную ±1 включим в C1:

(4)   2(C_1~y ~minus~ 1)^{3/2}~=~3C_1(x~+~C_2)

Теперь рассмотрим случай u = y' = 0:

dy/dx~=~0

Отсюда получаем особое решение:

y~=~C

Оно входит в (4). Действительно, полагая C1 = 0, имеем:

C_1~dot~y ~minus~ 1~=~0

Откуда:

y ~=~ 1/C_1

Что отличается от y = C лишь заменой постоянной. Поэтому это решение не нужно включать дополнительно в ответ.

Ответ

2(C_1~y ~minus~ 1)^{3/2}~=~3C_1(x~+~C_2)

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru