Олег ОдинцовОбыкновенные дифференциальные уравнения
Справочник по элементарным функциям
Методы вычисления неопределенных интегралов

Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

Показано как распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных. Рассмотрен способ решения таких уравнений. Дан пример подробного решения однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Дифференциальное уравнение высшего порядка, однородное относительно функции и ее производных это уравнение вида

f(x, y′/y, y′′/y, y′′′/y, ...)=0

Как распознать однородное дифференциальное уравнение высшего порядка

Для того, чтобы распознать дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных, нужно ввести постоянную t и сделать замену y → ty, y' → ty', y'' → ty'', и т.д. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то это дифференциальное уравнение, однородное относительно функции и ее производных.

Решение однородного дифференциального уравнения

Однородное дифференциальное уравнение высшего порядка допускает понижение порядка с помощью подстановки:

y prime = uy

где u - функция от x. Действительно, тогда:

y prime prime ~=~(y prime) prime ~=~ (uy)prime~=~u prime y~+~u y prime~=~u prime y~+~u uy~=~y(u prime ~+~ u^2)

y prime prime prime ~=~(y prime prime) prime ~=~(y(u prime ~+~ u^2))^,~=~y prime~(u prime ~+~ u^2)~+~y~(u prime ~+~ u^2)^, ~=~

~=~uy ~(u prime ~+~ u^2)~+~y~(u prime prime ~+~ 2u u prime) ~=~y(u prime prime ~+~3uu prime ~+~u^3)

И т. д. Отсюда

{y prime}/y ~=~ u

{y prime prime}/y~=~u prime ~+~ u^2

{y prime prime prime}/y ~=~u prime prime ~+~3uu prime ~+~u^3

И т. д. При подстановке в исходное уравнение:

f(x,~{y prime}/y,~{y prime prime}/y,~{y prime prime prime}/y,~...)~=~0

получаем уравнение относительно u, порядок которого понижен на единицу:

f(x,u,u prime + u^2,u prime prime +3uu prime +u^3,...)=0

Пример решения однородного дифференциального уравнения высшего порядка

Решить уравнение:
x^2 yy prime prime~=~(y~minus~xy prime)^2

Решение

Проверим, является ли данное уравнение однородным относительно функции и ее производных. Делаем замену: y → ty, y′ → ty′, y′′ → ty′′.

x^2 tyty prime prime~=~(ty~minus~xty prime)^2 ~=~t^2 ~(y~minus~xy prime)^2

Или

t^2 ~dot~x^2 yy prime prime ~=~t^2 ~dot~(y~minus~xy prime)^2

t сокращается. Поэтому это однородное уравнение. Делаем подстановку:

y prime = uy

Тогда:

y prime prime ~=~(y prime) prime ~=~ (uy)prime~=~u prime y~+~u y prime~=~u prime y~+~u uy~=~y(u prime ~+~ u^2)

Подставляем в исходное уравнение:

x^2 yy(u prime ~+~u^2)~=~(y~minus~xuy)^2~=~y^2(1~minus~xu)^2

Сокращаем на y2:

x^2 (u prime ~+~u^2)~=~(1~minus~xu)^2~=~1~minus~2xu~+~x^2 u^2

x^2 u prime ~+~x^2 u^2~=~1~minus~2xu~+~x^2 u^2

x^2 u prime ~=~1~minus~2xu

x^2 u prime~+~2xu ~=~1

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно решается с помощью интегрирующего множителя, который в данном случае равен единице:

x^2 u prime~+~2xu ~=~x^2 u prime~+~(x^2)^, u~=~{d(x^2 u)}/dx ~=~1

Отсюда:

x^2 u ~=~ int{~}{~}{dx}~=~x~+~C_1

{y prime}/y~=~u ~=~ 1/x~+~C_1/x^2

{~~dy/dx~~}/y ~=~ 1/x~+~C_1/x^2

Умножаем на dx и интегрируем:

dy/y ~=~ (1/x~+~C_1/x^2)dx

int{~}{~}{dy/y} ~=~ int{~}{~}{(1/x~+~C_1/x^2)dx}~=~int{~}{~}{dx/x}~+~C_1 int{~}{~}{x^{-2}dx}

Интегралы табличные:

ln delim{|}{y}{|}~=~ln delim{|}{x}{|}~minus~C_1/x~+~ln C_2

Потенцируем (знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в C2):

y~=~C_2 ~x~ e^{~minus~C_1/x}

Заменим постоянную C1 → - C1.

Ответ

y~=~C_2 ~x~ e^{C_1/x}

Опубликовано:


Яндекс.Метрика
Rambler's Top100
Олег Одинцов © 1cov-edu.ru