Найти НОД и НОК чисел – онлайн калькулятор

Онлайн калькулятор нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК). Приводится подробное решение тремя способами: последовательным выделением делителей; методом разложения на простые множители и методом Евклида.

Онлайн калькулятор

Результат вычислений

Что такое НОД и НОК и зачем они нужны

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел p и q, пишется НОД(p, q), – это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа p и q. То есть это наибольшее число d, для которого p/d и q/d являются натуральными числами, а не дробями.

Наибольший общий делитель используется для сокращения дробей.
Пусть у нас имеется обыкновенная дробь , где p и q – натуральные числа, например . Чтобы привести ее к несократимой, надо числитель и знаменатель разделить на их НОД. Для числа , наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 6, НОД(12, 18) = 6. Поэтому разделив числитель и знаменатель на 6, получим несократимую дробь:
.
Обе дроби равны и обозначают одно и тоже число: . Однако дробь проще, и с ней легче выполнять дальнейшие действия.

Не будет ошибки, если вместо несократимой дроби использовать равную ей сократимую дробь . Но все вычисления, с будут проще. Поэтому дроби принято приводить к несократимым.

На практике, для сокращения дроби, нет необходимости в предварительном вычислении НОД, чтобы затем разделить на него числитель и знаменатель, и получить несократимую дробь. Вместо этого шаг за шагом производят сокращение дроби на общие делители, которые ищут среди простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ... , перебирая их в порядке возрастания.

Наименьшее общие кратное двух натуральных чисел p и q, пишется НОК(p, q), – это наименьшее число, которое делится без остатка на p и q. То есть это наименьшее число k, для которого k/p и k/q являются натуральными числами, а не дробями.

Наименьшее общее кратное используется для приведения дробей к общему знаменателю, что необходимо для сравнения, а также для сложения и вычитания дробей. Приводить дроби к общему знаменателю можно разными способами. Самое простое – взять произведение знаменателей. Но если в качестве общего знаменателя взять НОК, то общий знаменатель получится наименьшим из всех возможных.

Стоит отметить, что для сравнения, сложения и вычитания дробей, достаточно привести их к любому общему знаменателю; совсем не обязательно их приводить именно к наименьшему общему знаменателю. Поэтому никакой необходимости в вычислении НОК для этой цели нет. Тем более, что это может быть довольно трудоемким. В высшей математике дроби встречаются почти на каждом шагу, но для приведения их к общему знаменателю почти всегда используют произведение знаменателей, а не НОК (за исключением специальных разделов алгебры).

Проиллюстрируем сказанное на примере сложения дробей и . Самый простой способ сложить дроби – взять в качестве общего знаменателя произведение знаменателей:
.
Сокращаем дробь:
;
.

Теперь сложим дроби другим способом, взяв в качестве общего знаменателя наименьшее общее кратное знаменателей, НОК(12, 30) = 60:

.
Сокращаем:
.
Получили тот же самый результат:
.
С использованием НОК, получили более простую дробь, которую оказалось легче сократить. Правда, для этого требуется вычислить сам НОК.

Наконец, общий знаменатель можно выбрать еще одним способом. Заметим, что если числитель и знаменатель первой дроби умножить на 10, а второй – на 4, то их знаменатели станут равными.
.
Сокращаем:
.
Результат вычислений не зависит от выбора общего знаменателя:
.

Как научиться вычислять НОД и НОК

Чтобы научиться вычислять наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, нужно разобрать несколько примеров с подробными решениями. В этом поможет данный онлайн калькулятор. С его помощью можно получить подробное вычисление НОД и НОК тремя способами: последовательным выделением делителей; методом разложения на простые множители и методом Евклида. Подробные комментарии позволяют разобраться с каждым из этих методов. Нужно только ввести несколько чисел, и получить развернутое вычисление НОД и НОК, в результате чего самостоятельно понять суть процесса вычисления.

Простой способ вычислить НОД и НОК двух чисел

Обычно, для вычисления НОД и НОК, числа сначала раскладывают на простые множители, а затем, сравнивая их делители, находят НОД и НОК. Но можно сделать проще – в процессе поиска делителей, одновременно производить вычисления НОД и НОК. При этом, возможно, не возникнет необходимости полного разложения одного из чисел. В онлайн калькуляторе расчет этим методом производится в первую очередь. Поясним этот метод на примере.

Пусть нам нужно найти НОД и НОК чисел 12 и 330.
В начале положим НОД = 1, НОК = 1.
Исследуем делимость на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... (см. Таблица простых чисел).
Исходные числа делятся без остатка на 2:
12/2 = 6,   330/2 = 165.
Если хотя бы одно из чисел делится на 2, то НОК умножаем на 2:
НОК = 1•2 = 2.
Если все числа делятся на 2, то и НОД умножим на 2:
НОД = 1•2 = 2.
Далее переходим к числам 6, 165, которые получились из исходных в результате деления на 2.
Число 6 делится на 2, а 165 – нет. Поэтому 6 делим на 2, а 165 оставляем без изменений.
6/2=3,   165.
Поскольку имеется число, делящееся на 2, то НОК умножим на 2:
НОК = 2•2 = 4.
Поскольку не все числа делятся на 2, то НОД не изменился, НОД = 2.
Далее переходим к числам 3, 165.
Ни одно из них не делится на 2; переходим к следующему простому числу 3.
Оба числа делятся на 3:
3/3 = 1, 165/3 = 55.
Поскольку хотя бы одно из них делится на 3, то НОК умножим на 3:
НОК = 4•3 = 12.
Поскольку все числа делятся на 3, то и НОД умножаем на 3:
НОД = 2•3 = 6.
После деления на 3 мы получили числа
1, 55.
Поскольку среди них есть единица, которая не делится без остатка ни на какое число, то общих делителей больше нет. Поэтому НОД рассчитан:
НОД = 2•3 = 6.
Для получения НОК, предыдущее значение нужно умножить на второе число:
НОК = 12•55 = 660.
Задача решена; мы нашли: НОД = 6, НОК = 660.
При этом у нас не возникло потребности раскладывать на простые множители число 55. А если бы мы это сделали, то их произведение оказалось бы равным числу 55, на которое мы сразу умножили НОК.

Отметим еще одну полезную формулу, с помощью которой, зная НОД двух чисел, можно сразу вычислить НОК:
НОК(p, q) = p•q / НОД(p, q).
В предыдущем примере мы нашли, НОД(12, 330) = 6. Тогда
НОК(12, 330) = 12•330/6 = 660.

Справочные данные

Наибольший общий делитель (НОД) чисел

Пусть у нас заданы два или более натуральных чисел: a₁, a₂, a₃, ... .
Наибольшим общим делителем заданных чисел (сокращенно НОД) называется наибольшее натуральное число d, на которое делятся без остатка все заданные числа:
a₁/d – натуральное число, не дробь;
a₂/d – натуральное число, не дробь;
a₃/d – натуральное число, не дробь;
............... .

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел

Пусть у нас заданы два или более натуральных чисел: a₁, a₂, a₃, ... .
Наименьшим общим кратным заданных чисел (сокращенно НОК) называется наименьшее натуральное число k, которое делится без остатка на все заданные числа:
k/a₁ – натуральное число, не дробь;
k/a₂ – натуральное число, не дробь;
k/a₃ – натуральное число, не дробь;
............... .

Натуральное число

– это число, которое является элементом натурального ряда. То есть это одно из чисел, возникающих в процессе счета: 1, 2, 3, 4, ...

Натуральный ряд

– это последовательность чисел, первое из которой является единицей 1, и каждый последующий элемент получается из предыдущего прибавлением единицы. То есть это ряд, возникающий в процессе счета: 1, 2, 3, 4, ...

Простое число

– это натуральное число, большее единицы, которое делится без остатка только на единицу и самого себя.

Разложение числа на простые множители

– это математическая операция, в результате которой исходное натуральное число представляется в виде произведения простых чисел.

Описание калькулятора

Введите в поле ввода несколько натуральных чисел, разделенных любыми символами, и нажмите кнопку «Найти НОД и НОК». Ниже появится результат вычисления, и подробное решение тремя способами – последовательным выделением делителей; методом разложения на простые множители и методом Евклида.

Если одно из чисел превышает максимально допустимое значение, равное 9007199254740991, то калькулятор выполнит решение задачи только одним способом – методом Евклида. Для этого метода, калькулятор использует длинную арифметику, и позволяет работать с большими числами.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 21-01-2023   Изменено: 27-03-2025