Чтобы разобраться с правилами умножения матриц, нужно уяснить один самый важный частный случай – умножение строки на столбец.
Чтобы умножить строку на столбец, нужно найти сумму произведений их элементов:
(a1a2 ⋅ ⋅ ⋅ an ) ⋅ (
b1
b2
⋅ ⋅ ⋅
bn
) =
a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ⋅ bn . Для этого необходимо, чтобы число элементов в строке равнялось числу элементов в столбце. Результатом произведения будет число, которое можно считать матрицей, имеющей одну строку и один столбец.
Научившись умножать строку на столбец, можно перейти к более сложной задаче – умножению матрицы на столбец. Чтобы умножить матрицу на столбец, нужно каждую строку матрицы умножить на заданный столбец. При этом необходимо, чтобы число столбцов в матрице равнялось числу элементов в столбце. В результате получается столбец, число элементов которого равно числу строк матрицы. Примеры:
(
2
3
1
– 3
) ⋅ (
4
5
) =
(
2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5
1 ⋅ 4 + (– 3 ) ⋅ 5
) = (
23
– 11
) ;
(
3
5
2
– 4
– 1
– 6
) ⋅ (
7
8
9
) =
(
3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 8 + 2 ⋅ 9
(– 4 ) ⋅ 7 + (– 1 ) ⋅ 8 + (– 6 ) ⋅ 9
) =
(
21 + 40 + 18
– 28 – 8 – 54
) = (
79
– 90
) .
Умножение строки на матрицу
Похожим способом умножается строка на матрицу. Для этого нужно умножить строку на каждый столбец матрицы. В результате получается строка, число элементов которой равно числу столбцов матрицы. При этом число элементов строки должно равняться числу строк матрицы.
Наконец, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, нужно каждую строку матрицы A умножить на каждый столбец матрицы B. В результате получается матрица C, элементы которой вычисляются по формуле: cik = nΣm = 1aimbmk . Число строк матрицы C равно числу строк матрицы A; число столбцов равно числу столбцов матрицы B. При этом число столбцов n матрицы A должно равняться числу строк матрицы B. Пример:
(
2
3
4
5
6
7
) ⋅ (
10
20
30
40
) =
(
2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 30
2 ⋅ 20 + 3 ⋅ 40
4 ⋅ 10 + 5 ⋅ 30
4 ⋅ 20 + 5 ⋅ 40
6 ⋅ 10 + 7 ⋅ 30
6 ⋅ 20 + 7 ⋅ 40
)
= (
110
160
190
280
270
400
) .
Руководство по использованию калькулятора
Задачи, решаемые с помощью данного калькулятора
Калькулятор предназначен для умножения двух матриц, элементы которых могут быть заданы в виде десятичных или обыкновенных дробей.
Ввод элементов матриц
Элементы матриц вводятся в текстовое поле через пробел или табуляцию. Строки матриц отделяются с помощью перевода новой строки (клавиша Enter).
Ввод чисел
Ввод натуральных чисел выполняется, как обычно, в виде последовательности цифр 0 – 9. Перед отрицательными числами ставится знак минус без пробела. Обыкновенные дроби вводят с использованием косой черты без пробелов, которая отделяет числитель от знаменателя. Например: 5/2. Десятичные дроби вводят, используя в качестве разделителя запятую или точку. Например: 0,1254. Также можно ввести порядок числа, используя латинскую букву e. Например, 1,254e-12 означает 1,254·10-12.
Дополнительные действия
Под текстовым полем имеются три кнопки с вспомогательными функциями. Рассчитать – производится проверка правильности заполнения введенных элементов матрицы и выполняется расчет произведения матриц. В случае обнаружения ошибки, выдается сообщение. Копировать – данные копируются в буфер обмена для последующего сохранения в электронной таблице или вставки в другое текстовое поле. Очистить – данные текстового поля удаляются. После этого можно вставить новые данные из электронной таблицы через буфер обмена.
Выбор типа дробей
Можно выбрать обыкновенные или десятичные дроби. В случае выбора десятичных дробей, имеется возможность дополнительно указать число значащих цифр, используемых для отображения данных расчета. При этом в самом расчете используются числа с 15-ю знаками не зависимо от выбранного значения числа значащих цифр. При расчете с помощью обыкновенных дробей, также применяются числа, число разрядов которых не превышает 15-ти. В противном случае, выдается предупреждение о неточности расчета. Если при вводе данных, хотя бы в одном поле, встретится запятая или точка, то все числовые величины будут округляться, и отображаться в виде десятичных дробей.
Сохранение данных расчета
После успешного выполнения расчета происходит замена адреса страницы, в который включаются введенные пользователем данные. Если сохранить страницу в браузере, то при повторном обращении, автоматически загружаются данные предыдущего расчета, и производится сам расчет.
Сохранять данные также можно в электронной таблице, копируя их из текстового поля в буфер обмена.
